(2,0) Seja f: R^2 backslash(0,1) R definida por f(x, y)=ln (x^2+4(y-1)^2).
(1,0 ponto) Verifique que partial^2 fpartial y^2(x, y)=-4 partial^2 fpartial x^2(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=lnl(x^2+4(y-1)^2r)
em R^2setminus(0,1) e pede para mostrarmos que
partial^2fpartial y^2(x,y) ;=;-4;partial^2fpartial x^2(x,y)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para logaritmo e a regra do quociente para derivadas de funções racionais.

Passo 2

Defina
D(x,y)=x^2+4(y-1)^2
Como f(x,y)=ln D(x,y), pela regra da cadeia
partial fpartial x =1D,partial Dpartial x =1D,(2x) =2xD,
partial fpartial y =1D,partial Dpartial y =1D,l(8(y-1)r) =8(y-1)D

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente em cada derivada:
Para partial^2fpartial x^2, temos
partial^2fpartial x^2 =partialpartial x!l(2xDr) =2cdot D - 2xcdotpartial Dpartial xD^2 =2D - 2x,(2x)D^2 =2l(D - 2x^2r)D^2
Como D = x^2+4(y-1)^2, isso fica
partial^2fpartial x^2 =2l(x^2+4(y-1)^2-2x^2r)D^2 =2l(4(y-1)^2-x^2r)D^2
Para partial^2fpartial y^2, fazemos análogo:
partial^2fpartial y^2 =partialpartial y!l(8(y-1)Dr) =8cdot D - 8(y-1)cdotpartial Dpartial yD^2 =8D - 8(y-1),(8(y-1))D^2 =8l(D - 8(y-1)^2r)D^2
Substituindo D = x^2+4(y-1)^2 obtemos
partial^2fpartial y^2 =8l(x^2+4(y-1)^2-8(y-1)^2r)D^2 =8l(x^2-4(y-1)^2r)D^2

Passo 4

Compare os dois resultados:
partial^2fpartial y^2 =8l(x^2-4(y-1)^2r)D^2 =-4,2l(4(y-1)^2-x^2r)D^2 =-4,partial^2fpartial x^2
Logo, confirmamos que
partial^2fpartial y^2(x,y) =-4,partial^2fpartial x^2(x,y)

Resposta

partial^2fpartial y^2(x,y) =-4,partial^2fpartial x^2(x,y)

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