A equação de Schrödinger para uma partícula de massa m que se move em um anel de raio a é:
-\frac{\hbar^{2}}{2 I} \frac{d^{2} \psi}{d \theta^{2}}=E \psi(\theta) \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi
em que I=m a^{2} é o momento de inercia e \theta descreve a posição ao longo do anel. Mostre que \psi(\theta)=A e^{i n \theta} é solução da equação, onde n= \pm \sqrt{2 I E} / \hbar. Qual é o valor da constante de normalização, A ?

Passo 1

O enunciado dá a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula de massa m presa a um anel de raio a:
-\frac{\hbar^{2}}{2I}\,\frac{d^{2}\psi}{d\theta^{2}} = E\,\psi(\theta),
onde I = m a^{2} e \theta\in[0,2\pi]. Queremos verificar que \psi(\theta)=A\,e^{i n\theta}
é solução e encontrar n e o fator de normalização A.

Passo 2

Calcule a segunda derivada de \psi:
\frac{d\psi}{d\theta} = A\,(i n)\,e^{i n\theta}, \qquad \frac{d^{2}\psi}{d\theta^{2}} = A\,(i n)^{2} \,e^{i n\theta} = -n^{2}A\,e^{i n\theta}.
Substituindo na equação de Schrödinger:
-\frac{\hbar^{2}}{2I}\,\bigl(-n^{2}A\,e^{i n\theta}\bigr) =E\,(A\,e^{i n\theta}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\hbar^{2}n^{2}}{2I}\,A\,e^{i n\theta} =E\,A\,e^{i n\theta}.

Passo 3

Como A\,e^{i n\theta}\neq0, iguala-se o fator escalar:
E = \frac{\hbar^{2}n^{2}}{2I} \quad\Longrightarrow\quad n^{2} = \frac{2I\,E}{\hbar^{2}} \quad\Longrightarrow\quad n = \pm \frac{\sqrt{2I\,E}}{\hbar}.

Passo 4

Para normalizar \psi, impomos
\int_{0}^{2\pi}|\psi(\theta)|^{2}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}|A|^{2}\,d\theta =2\pi\,|A|^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad |A|^{2} = \frac{1}{2\pi}.
Escolhendo A real e positivo,
A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.

Resposta

\psi(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{i n\theta}, \quad n=\pm\frac{\sqrt{2I\,E}}{\hbar}.

Exercícios relacionados