Considere a função de onda:
Psi(x, t)=A e^-a x^2 e^-i b t
onde a=raizC m2 hbar e b=12 raizCm.
Calcule a densidade de probabilidade, |Psi|^2. Esta densidade depende do tempo? Onde esta densidade é máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente precisa calcular a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ para a função de onda dada:
|Psi|^2
Também temos que verificar se essa densidade depende do tempo e descobrir onde ela é máxima. Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo ao quadrado de uma função de onda e lembrar que $ A $, $ a $ e $ b $ são constantes definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade $ |\Psi|^{2} $ é simplesmente o módulo ao quadrado da função de onda $ \Psi(x, t) $. Isso significa que vamos multiplicar $ \Psi $ pela sua complexa conjugada $ \Psi^{*} $.
A função de onda dada é:
|Psi|^2
A conjugada complexa de $ \Psi $ é:
Psi(x, t)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar $ \Psi $ por $ \Psi^{*} $ para encontrar $ |\Psi|^{2} $:
Psi
Vamos multiplicar termo a termo:
  • $ A \times A = A^{2} $
  • $ e^{-a x^{2}} \times e^{-a x^{2}} = e^{-2a x^{2}} $
  • $ e^{-i b t} \times e^{i b t} = e^{0} = 1 $ (porque $ e^{i\theta} \times e^{-i\theta} = 1 $)
Então:
Psi^*

Passo 4

Perceba que a expressão final para $ |\Psi|^{2} $ é:
|Psi|^2
Aqui, não tem nenhum termo com $ t $, que é o tempo. Isso quer dizer que a densidade de probabilidade não depende do tempo. Em outras palavras, ela é estática ao longo do tempo.

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde essa densidade é máxima. Olhando para a expressão $ |\Psi|^{2} = A^{2} e^{-2a x^{2}} $, vemos que a função exponencial $ e^{-2a x^{2}} $ alcança seu valor máximo quando o expoente é zero, ou seja, quando $ x = 0 $.
Portanto, a densidade de probabilidade é máxima em $ x = 0 $.

Resposta

A densidade de probabilidade é $ |\Psi|^{2} = A^{2} e^{-2a x^{2}} $. Ela não depende do tempo e atinge seu máximo em $ x = 0 $.

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