A função de onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico é:
psi(x)=A e^-alpha x^2, x in(-infty, infty)
onde alpha>0 é uma constante. Normalize a função de onda e determine A em termos de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. Nossa missão aqui é normalizar essa função, ou seja, encontrar o valor da constante $ A $ que faz com que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar seja igual a 1. Pra isso, vamos usar algumas ideias de cálculo integral e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A função de onda $ \psi(x) $ deve satisfazer a condição:
psi(x)
No nosso caso, $ \psi(x) = A e^{-\alpha x^{2}} $. Então, precisamos calcular a integral de $ |A e^{-\alpha x{2}}|2 $ de integral-infty^infty |psi(x)|^2 , dx = 1 a $ \infty $.

Passo 3

Vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $:
|psi(x)|^2
Então, a condição de normalização fica:
|psi(x)|^2 = | A e^-alpha x^2 |^2 = A^2 e^-2alpha x^2

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral-infty^infty e^-2alpha x^2 , dx
Essa é uma integral conhecida e tem como resultado:
integral-infty^infty e^-k x^2 , dx = raizpik
No nosso caso, $ k = 2\alpha $, então:
k = 2alpha

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na condição de normalização:
A^2 raizpi2alpha = 1
Agora, queremos isolar $ A $. Vamos dividir ambos os lados por $ \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} $:
A

Passo 6

Para encontrar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
A

Resposta

A constante de normalização é:
A = ( 2alphapi )^14

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