A função de onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico é:
onde
é uma constante. Normalize a função de onda e determine
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. Nossa missão aqui é normalizar essa função, ou seja, encontrar o valor da constante $ A $ que faz com que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar seja igual a 1. Pra isso, vamos usar algumas ideias de cálculo integral e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A função de onda $ \psi(x) $ deve satisfazer a condição:
No nosso caso, $ \psi(x) = A e^{-\alpha x^{2}} $. Então, precisamos calcular a integral de $ |A e^{-\alpha x{2}}|2 $ de
a $ \infty $.
Passo 3
Vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral conhecida e tem como resultado:
No nosso caso, $ k = 2\alpha $, então:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na condição de normalização:
Agora, queremos isolar $ A $. Vamos dividir ambos os lados por $ \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} $:
Passo 6
Para encontrar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A constante de normalização é: