Uma partícula livre tem sua função de onda representada como:
psi(x)=A e^-x^22 sigma^2, x in(-infty, infty),
onde sigma>0 é a largura da gaussiana. Calcule a constante A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre funções de onda na mecânica quântica. A gente precisa encontrar a constante $ A $ na função de onda de uma partícula livre que tem a forma de uma gaussiana. Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda precisa ser normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda ($ |\psi(x)|^2 $) em todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso fica assim:
|psi(x)|^2

Passo 3

Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $. A função de onda dada é:
|psi(x)|^2
Então, o módulo ao quadrado dela é:
psi(x) = A e^-x^22 sigma^2

Passo 4

Substituindo $ |\psi(x)|^2 $ na condição de normalização, temos:
|psi(x)|^2
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ A $.

Passo 5

A integral $ \int_{-\infty}^{\infty} e{-\frac{x{2}}{\sigma^{2}}} , dx $ é uma forma conhecida da função gaussiana e seu valor é:
integral-infty^infty e^-x^2sigma^2 , dx

Passo 6

Substituindo o valor da integral na equação de normalização:
A^2 cdot sigma raizpi = 1
Agora, isolamos $ A^2 $:
A^2

Passo 7

Para encontrar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
A

Resposta

A constante $ A $ é igual a $ \frac{1}{\sqrt{\sigma} , \pi^{1/4}} $.

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