Uma partícula livre tem sua função de onda representada como:
onde
é a largura da gaussiana. Calcule a constante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre funções de onda na mecânica quântica. A gente precisa encontrar a constante $ A $ na função de onda de uma partícula livre que tem a forma de uma gaussiana. Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda precisa ser normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda ($ |\psi(x)|^2 $) em todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $. A função de onda dada é:
Então, o módulo ao quadrado dela é:
Passo 4
Substituindo $ |\psi(x)|^2 $ na condição de normalização, temos:
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ A $.
Passo 5
A integral $ \int_{-\infty}^{\infty} e{-\frac{x{2}}{\sigma^{2}}} , dx $ é uma forma conhecida da função gaussiana e seu valor é:
Passo 6
Substituindo o valor da integral na equação de normalização:
Agora, isolamos $ A^2 $:
Passo 7
Para encontrar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A constante $ A $ é igual a $ \frac{1}{\sqrt{\sigma} , \pi^{1/4}} $.