Considere a funçāo de onda:
psi(x)= A x, & 0 <= x <= L A(2 L-x), & L<x <= 2 L
Determine A para que psi(x) seja normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda definida por partes e precisamos encontrar o valor de A para que essa função seja normalizada. Normalização é uma condição importante na mecânica quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de integração e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. Normalizar psi(x) significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço é igual a 1:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função psi(x) é diferente em dois intervalos: de 0 a L e de L a 2L. Fora desses intervalos, a função provavelmente é zero, então a integral só precisa ser feita de 0 a 2L.

Passo 3

Vamos escrever a integral de normalização para a nossa função de onda:
integral0^2L |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo psi(x) nas duas partes:
integral0^L (A x)^2 dx + integralL^2L [A(2L - x)]^2 dx = 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 0 a L:
integral0^L (A x)^2 dx = A^2 integral0^L x^2 dx
E a integral de L a 2L:
integralL^2L [A(2L - x)]^2 dx = A^2 integralL^2L (2L - x)^2 dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais. Começando com a primeira:
A^2 integral0^L x^2 dx = A^2 [ x^33 ]0^L = A^2 ( L^33 - 0 ) = A^2 L^33
Agora, a segunda integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar: deixe u = 2L - x , então du = -dx . Quando x = L , u = L , e quando x = 2L , u = 0 . Então:
A^2 integralL^2L (2L - x)^2 dx = A^2 integralL^0 u^2 (-du) = A^2 integral0^L u^2 du = A^2 [ u^33 ]0^L = A^2 L^33

Passo 6

Agora, somamos as duas partes para igualar a integral a 1:
A^2 L^33 + A^2 L^33 = 1
Isso dá:
2 A^2 L^33 = 1

Passo 7

Vamos resolver para A^2 :
A^2 = 32 L^3
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
A = raiz32 L^3 = raiz3raiz2 L^3/2

Resposta

O valor de A que normaliza a função de onda é:
A = raiz3raiz2 , L^3/2

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