Considere a funçāo de onda:
Determine
para que
seja normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda definida por partes e precisamos encontrar o valor de
para que essa função seja normalizada. Normalização é uma condição importante na mecânica quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de integração e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. Normalizar
significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço é igual a 1:
No nosso caso, a função
é diferente em dois intervalos: de
a
e de
a
. Fora desses intervalos, a função provavelmente é zero, então a integral só precisa ser feita de
a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral de normalização para a nossa função de onda:
Substituindo
nas duas partes:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
a
:
E a integral de
a
:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais. Começando com a primeira:
Agora, a segunda integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar: deixe
, então
. Quando
,
, e quando
,
. Então:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes para igualar a integral a 1:
Isso dá:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O valor de
que normaliza a função de onda é: