Considere a função f(x)=sumn in N: rn<x an onde rn=1-12^n e an=1n^3 / 2.
Determine os valores de f(0), f(2 / 3) e f(3 / 2).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumninN:rn<xan
onde
rn = 1-12^n, an = 1n^3/2
Precisamos, para cada valor de x, identificar o conjunto n:rn<x e somar os an correspondentes.

Passo 2

Analisamos a desigualdade que determina quais termos entram na soma:
rn < x Long<=ftrightarrow 1-12^n<x Long<=ftrightarrow 12^n>1-x
Como 1/2^n decresce com n, essa condição diz quantos primeiros termos de an devem ser somados.

Passo 3

Calcular f(0).
Para x=0 temos 1-x=1, então tfrac12^n>1 nunca ocorre (já que tfrac12^n<=1). Logo o índice n não satisfaz a condição e a soma é vazia.
Portanto
f(0)=0

Passo 4

Calcular f(2/3).
Aqui 1-x=1/3, então buscamos n tais que tfrac12^n>1/3.
  • Para n=1, tfrac12^1=0,5>1/3, entra na soma.
  • Para n>=2, tfrac12^n<=0,25<1/3, não entram.
    Logo só n=1 contribui e
fl(tfrac23r)=a1=11^3/2=1

Passo 5

Calcular f(3/2).
Como x=3/2>1, temos 1-x=-1/2<0. A condição tfrac12^n>1-x vale para todo ninN. Ou seja, todos os termos entram na soma.
Logo
fl(tfrac32r) =sumn=1^infty1n^3/2

Resposta

f(0) = 0
f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) = 1
f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}

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