Dada uma função
e
, se para uma sequência
tal que
, com
vale que
então
.
Demonstre a afirmação verdadeira.
Demonstre a afirmação verdadeira.
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma função
e um ponto
, sempre que uma sequência
com
satisfaz
e ao mesmo tempo
, então podemos concluir que
O conteúdo aqui é a equivalência entre a definição de limite via sequências e a definição
. Para demonstrar, vamos assumir o contrário da definição
e chegar a uma sequência que contradiz a hipótese.
Passo 2
Recordando a definição de limite: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Nosso objetivo é provar essa afirmação.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
. Então existe algum
tal que, para todo
, podemos encontrar um ponto
que viola a condição, isto é,
Passo 4
Com essa violação em mãos, construímos uma sequência
que converge para
mas para a qual
não converge para
. Defina, para cada
,
. Pela hipótese de negação do limite, para cada
existe
tal que
Então, claramente,
(pois
), mas
o que impede
.
Passo 5
Chegamos a uma contradição com a hipótese inicial (que garantia
para toda sequência
). Logo, nossa suposição de que o limite
falhava é falsa. Concluímos que, de fato,
Resposta
Demonstrado que a condição sequencial implica a definição
, temos
.