Dada uma função f: R R e x0 in R, se para uma sequência (xn) tal que xn x0, com xn neq x0 vale que f(xn) l então lim x x0 f(x)=l.
Demonstre a afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma função f:RtoR e um ponto x0inR, sempre que uma sequência l(xnr) com xnneq x0 satisfaz xnto x0 e ao mesmo tempo f(xn)to l, então podemos concluir que
limxto x0f(x)=l
O conteúdo aqui é a equivalência entre a definição de limite via sequências e a definição varepsilon - de<a. Para demonstrar, vamos assumir o contrário da definição varepsilon - de<a e chegar a uma sequência que contradiz a hipótese.

Passo 2

Recordando a definição de limite: dizemos que
limxto x0f(x)=l
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-x0|<de<a, temos |f(x)-l|<varepsilon. Nosso objetivo é provar essa afirmação.

Passo 3

Suponha, por contradição, que limxto x0f(x)neq l. Então existe algum varepsilon0>0 tal que, para todo de<a>0, podemos encontrar um ponto x que viola a condição, isto é,
0<|x-x0|<de<a e |f(x)-l|>=varepsilon0

Passo 4

Com essa violação em mãos, construímos uma sequência l(xnr) que converge para x0 mas para a qual f(xn) não converge para l. Defina, para cada ninN, de<an=1/n. Pela hipótese de negação do limite, para cada de<an existe xn tal que
0<|xn-x0|<1n e |f(xn)-l|>=varepsilon0
Então, claramente, xnto x0 (pois |xn-x0|<1/n), mas
|f(xn)-l|>=varepsilon0para todo n,
o que impede f(xn)to l.

Passo 5

Chegamos a uma contradição com a hipótese inicial (que garantia f(xn)to l para toda sequência ;xnto x0,,xnneq x0). Logo, nossa suposição de que o limite varepsilon - de<a falhava é falsa. Concluímos que, de fato,
limxto x0f(x)=l

Resposta

Demonstrado que a condição sequencial implica a definição varepsilon - de<a, temos limxto x0f(x)=l.

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