Determine se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.
Se f é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo I então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“Se f é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo I, então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.”
Aqui o conteúdo é análise real: propriedades de funções monotônicas, existência de limites laterais e classificação de descontinuidades (tipo salto = descontinuidade de primeira espécie).

Passo 2

Mostramos primeiro que, se f é monótona em I, então em todo ponto ain I existem os limites laterais
f(a^-)=limxto a^-f(x) e f(a^+)=limxto a^+f(x)
De fato, suponha por exemplo f não decrescente. Para x<a, o conjunto f(x)mid x<a é limitado (pois f é limitada) e é não decrescente à medida que x se aproxima de a. Logo,
f(a^-)=supx<af(x)
existe finito. De modo análogo
f(a^+)=infx>af(x)
existe finito. O mesmo raciocínio vale se f for não crescente, trocando sup por inf e vice-versa.

Passo 3

Como em cada ponto a existem ambos os limites laterais finitos, qualquer descontinuidade em a ocorre quando
f(a^-)neq f(a^+)ou f(a)neq f(a^-) ou f(a)neq f(a^+)
Em particular, não há “explosão” de tipo infinito nem descontinuidade essencial: há apenas diferença finita entre o valor à esquerda e o valor à direita. Essa é exatamente a definição de descontinuidade de salto (primeira espécie).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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