Determine se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.
Se
é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo
então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“Se
é uma função monótona e limitada definida sobre um intervalo
, então ela só pode ter descontinuidades de tipo salto.”
Aqui o conteúdo é análise real: propriedades de funções monotônicas, existência de limites laterais e classificação de descontinuidades (tipo salto
descontinuidade de primeira espécie).
Passo 2
Mostramos primeiro que, se
é monótona em
, então em todo ponto
existem os limites laterais
De fato, suponha por exemplo
não decrescente. Para
, o conjunto
é limitado (pois
é limitada) e é não decrescente à medida que
se aproxima de
. Logo,
existe finito. De modo análogo
existe finito. O mesmo raciocínio vale se
for não crescente, trocando sup por inf e vice-versa.
Passo 3
Como em cada ponto
existem ambos os limites laterais finitos, qualquer descontinuidade em
ocorre quando
Em particular, não há “explosão” de tipo infinito nem descontinuidade essencial: há apenas diferença finita entre o valor à esquerda e o valor à direita. Essa é exatamente a definição de descontinuidade de salto (primeira espécie).
Resposta
A afirmação é verdadeira.