Não existe nenhuma função f: R R que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que “não existe nenhuma função fcolonRtoR que seja descontínua em todos os pontos de seu domínio”. Essa afirmação é falsa: o tema é continuidade e descontinuidade de funções reais. Temos que (1) dar um contraexemplo de função que seja descontínua em todo ponto de R e (2) modificar as hipóteses para que a afirmação se torne verdadeira.

Passo 2

Um clássico contraexemplo é a função de Dirichlet, definida por
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ
Em qualquer ponto x0 e para qualquer varepsilon<tfrac12, toda vizinhança de x0 contém números racionais (onde f=1) e irracionais (onde f=0), de modo que f não tem limite em x0. Logo f é descontínua em todo R.

Passo 3

Para tornar verdadeira a afirmação “não existe função que seja descontínua em todos os pontos”, basta restringir a classe de funções. Por exemplo, se exigirmos que f seja monotônica em um intervalo de R, então é conhecido que o conjunto de descontinuidades de uma função monotônica é, no máximo, enumerável. Assim sempre sobra pelo menos um ponto de continuidade, e não existe função monotônica descontínua em todo seu domínio.

Resposta

Contraexemplo: a função de Dirichlet
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ
Hipótese modificada (para tornar a afirmação verdadeira): exigir que f seja monotônica em um intervalo de R, pois funções monotônicas têm no máximo contáveis pontos de descontinuidade e, portanto, não podem ser descontínuas em todo o domínio.

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