Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:
f(x)=raiz4 x^2-92 x+1

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de
f(x) = raiz4x^2-92x+1,
Conteúdo: determinar domínio, estudar zeros do denominador e comportamento de f(x) em pontos críticos e em xtopminfty.

Passo 2

Vamos achar o domínio de f. A raiz exige
4x^2-9 >= 0 Longrightarrow x^2 >= 94 Longrightarrow |x|>= 32,
Além disso, não podemos ter 2x+1=0, ou seja xneq -tfrac12. Note que x=-tfrac12 está no intervalo l(-tfrac32,tfrac32r), que já está excluído pela raiz. Logo o domínio é
xinR:x<= -tfrac32cupxinR:x>= tfrac32

Passo 3

Para assíntota vertical, procuramos pontos onde f(x)topminfty. O único zero do denominador seria x=-tfrac12, mas esse ponto não pertence nem é limite de nenhum ramo do domínio de f. Nas fronteiras x=pmtfrac32 temos raiz4x^2-9=0 e denominador finito, logo f se anula sem explodir. Concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 4

Para assíntotas horizontais, estudamos
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x).
Dividindo numerador e denominador por |x|:
raiz4x^2-9 =|x|raiz4-9x^2 sim |x|l(2 - 94x^2r)
e
2x+1 = 2xl(1 + 12xr),
Logo, para xto+infty, |x|=x e
f(x) sim 2x2xl(1+tfrac12xr) = 11+tfrac12x ;xrightarrow[xto+infty];1
Para xto-infty, |x|=-x e
f(x) sim -2x2xl(1+tfrac12xr) = -11+tfrac12x ;xrightarrow[xto-infty];-1

Resposta

Assíntotas horizontais:
y=1, y=-1
Não há assíntotas verticais.

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