Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série de potências (domínio de f);
b) uma série de potências para f'(x) e o raio de convergência;
c) uma série de potências para \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt e seu intervalo de convergência.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potências, aplicação do critério da raiz para o raio de convergência e operação termo a termo de derivação e integração.
Passo 2
Para achar o raio de convergência R usamos o critério da raiz (Cauchy–Hadamard):
O raio de convergência continua sendo R=5. Nos extremos x=\pm5 a série se reduz a uma soma de constantes \pm1/5 repetidas, que não converge, então o intervalo de convergência de f'(x) é