Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,x^{n}
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série de potências (domínio de f);
b) uma série de potências para f'(x) e o raio de convergência;
c) uma série de potências para \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt e seu intervalo de convergência.
O conteúdo envolvido é o estudo de séries de potências, aplicação do critério da raiz para o raio de convergência e operação termo a termo de derivação e integração.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R usamos o critério da raiz (Cauchy–Hadamard):
\frac1{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\biggl|\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\biggr|} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5\,n^{1/n}}=\frac{1}{5}.
Logo R=5 e a série converge para |x|<5. Agora checamos os extremos:
  • Em x=5:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,5^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série harmônica alternante, converge (condicional).
  • Em x=-5:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,(-5)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n},
que diverge (soma -\sum1/n).
Portanto o domínio de f é
(-5,5].

Passo 3

Derivamos termo a termo, pois em |x|<5 a série é uniformemente convergente em qualquer intervalo fechado contido em (-5,5). Temos
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\;n\,x^{\,n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}\,x^{\,n-1}.
Reindexando com m=n-1,
f'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+2}}{5^{m+1}}\,x^{m} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{5^{m+1}}\,x^{m}.
O raio de convergência continua sendo R=5. Nos extremos x=\pm5 a série se reduz a uma soma de constantes \pm1/5 repetidas, que não converge, então o intervalo de convergência de f'(x) é
(-5,5).

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a x:
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,t^{n}dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\;\frac{x^{\,n+1}}{n+1}.
Assim, reindexando com k=n+1,
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k-1)\,5^{\,k-1}}\;\frac{x^{k}}{k} =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k\,(k-1)\,5^{\,k-1}}\,x^{k}.
O raio de convergência permanece R=5. Verificando os extremos:
  • Em x=5 e em x=-5 os termos caem como 1/n^{2}, logo a série converge absolutamente.
    Portanto o intervalo de convergência é
[-5,5].

Resposta

a) Domínio de f: (-5,5].
b)
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{5^{m+1}}\,x^{m},
com raio de convergência 5 (intervalo de convergência (-5,5)).
c)
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k\,(k-1)\,5^{\,k-1}}\,x^{k},
com intervalo de convergência [-5,5].

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