Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas ( V ou F ). Justifique sua resposta.
(\quad) A série -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n}}" é absolutamente convergente;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}}
é absolutamente convergente. Lembrando que uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Aqui temos
a_n = -2\,\frac{n}{e^n},
então
|a_n| = 2\,\frac{n}{e^n}.

Passo 2

Para testar a convergência de \sum |a_n| = \sum 2\,\frac{n}{e^n}, usamos o teste da razão. Seja
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{2\,(n+1)\,e^{-(n+1)}}{2\,n\,e^{-n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,e^{-1} = \frac{1}{e}.
Como \frac{1}{e}<1, pelo teste da razão a série \sum |a_n| converge.

Passo 3

Da convergência de \sum |a_n| segue que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

V

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