Considere a funçăo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determino o raio e o intervalo de convergència da série obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define f(x)=\ln|x| e pede:
a) mostrar que
f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}
no raio de convergência dessa série;
b) determinar esse raio e o intervalo de convergência;
c) calcular \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
O conteúdo usado será expansão em série de potências via série geométrica e integração termo a termo, além de testes de convergência e soma de séries conhecidas.

Passo 2

Começamos derivando f(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x.
Escrevemos
\frac1x=\frac1{-1+(x+1}}=-\frac1{1-(x+1)}.
Para \lvert x+1\rvert<1, usamos a expansão geométrica
\frac1{1-(x+1)}=\sum_{n=0}^\infty (x+1)^n,
logo
f'(x)=-\sum_{n=0}^\infty (x+1)^n.
Agora integramos termo a termo:
f(x)=\int f'(x)\,dx =-\sum_{n=0}^\infty\int (x+1)^n\,dx =-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C.
Para achar C, note que em x=-1 temos f(-1)=\ln1=0 e o somatório anula-se. Logo C=0, e obtemos
\boxed{\,\ln|x|=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1},\quad |x+1|<1.}

Passo 3

A série
\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}
é comparável a \sum (x+1)^{n+1}, cujo raio de convergência vem de
\lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{x+1|^{n+2}}{|x+1|^{n+1}}\bigr|=|x+1|<1
portanto o raio é R=1. Isso dá o intervalo aberto -2<x<0.
Testando as bordas:
  1. x=0\implies\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1} diverge (harmônica).
  2. x=-2\implies x+1=-1, fica
    \displaystyle -\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}, que é convergente (série alternada) e soma \ln2.
    Logo o intervalo de convergência é
\boxed{[-2,0).}

Passo 4

Para
\displaystyle S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}(n+1)} note que, fazendo k=n+1,
S=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k\,k} =\sum_{k=1}^\infty\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^k}{k}.
Sabemos que
\sum_{k=1}^\infty\frac{u^k}{k}=-\ln(1-u), \quad |u|<1.
Tomando u=\tfrac12 segue
S=-\ln\bigl(1-\tfrac12\bigr)=-\ln\tfrac12=\ln2.

Resposta

(a) \displaystyle \ln|x|=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}, válido para |x+1|<1.
(b) Raio de convergência R=1, intervalo [-2,0).
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.

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