Considere a funçăo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determino o raio e o intervalo de convergència da série obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define f(x)=\ln|x| e pede:
a) mostrar que
f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}
no raio de convergência dessa série;
b) determinar esse raio e o intervalo de convergência;
c) calcular \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
O conteúdo usado será expansão em série de potências via série geométrica e integração termo a termo, além de testes de convergência e soma de séries conhecidas.
Passo 2
Começamos derivando f(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x.
Escrevemos
\frac1x=\frac1{-1+(x+1}}=-\frac1{1-(x+1)}.
Para \lvert x+1\rvert<1, usamos a expansão geométrica
x=-2\implies x+1=-1, fica \displaystyle -\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}, que é convergente (série alternada) e soma \ln2.
Logo o intervalo de convergência é
\boxed{[-2,0).}
Passo 4
Para \displaystyle S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}(n+1)} note que, fazendo k=n+1,