/3,0 2. Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado define a função de variável real
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,x^{n},
ou seja, é uma série de potências com coeficientes a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}.
Conteúdo: convergência de séries de potências, derivação e integração termo a termo.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em módulo:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,\frac{|x|}{5} =\frac{|x|}{5}.
Converge se \frac{|x|}{5}<1, ou seja |x|<5.
Agora testamos as extremidades:
  • Em x=5:
f(5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}\,5^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série alternante harmônica, converge (para \ln 2).
  • Em x=-5:
f(-5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}\,(-5)^n =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica negativa, diverge.
Logo o intervalo de convergência é (-5,5].

Passo 3

Derivando termo a termo para |x|<5:
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}\,n\,x^{n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^n}\,x^{n-1}.
Para escrever em forma padrão, trocamos m=n-1:
f'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{5^{m+1}}\,x^{m} =\frac{1}{5}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{x}{5}\Bigr)^m,
que é uma série geométrica de raio 5.
Nos pontos |x|=5 os termos não tendem a zero, logo diverge em x=\pm5.
Portanto o raio de convergência de f' é 5 e o intervalo de convergência é (-5,5).

Passo 4

Integrando termo a termo de 0 a x, para |x|<5:
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}\int_{0}^{x}t^n\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}\,\frac{x^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,5^n}\,x^{n+1}.
O raio de convergência continua sendo 5.
Em x=5 e em x=-5 os termos são da ordem 1/n^2, que garante convergência absoluta em ambos.
Logo o intervalo de convergência é [-5,5].

Resposta

(a) O domínio de f é o intervalo de convergência (-5,5].
(b)
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^n}\,x^{n-1} =\frac{1}{5}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{x}{5}\Bigr)^m,
com raio de convergência 5 e intervalo (-5,5).
(c)
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,5^n}\,x^{n+1},
com raio 5 e intervalo de convergência [-5,5].

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