/3,0 2. Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.
ou seja, é uma série de potências com coeficientes a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^n}.
Conteúdo: convergência de séries de potências, derivação e integração termo a termo.
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em módulo:
que é uma série geométrica de raio 5.
Nos pontos |x|=5 os termos não tendem a zero, logo diverge em x=\pm5.
Portanto o raio de convergência de f' é 5 e o intervalo de convergência é (-5,5).
O raio de convergência continua sendo 5.
Em x=5 e em x=-5 os termos são da ordem 1/n^2, que garante convergência absoluta em ambos.
Logo o intervalo de convergência é [-5,5].
Resposta
(a) O domínio de f é o intervalo de convergência (-5,5].
(b)