Considere a funçāo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor de f(x)=\ln|x| em torno de x=-1, achar raio e intervalo de convergência dessa série e, por fim, usar o resultado para computar
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
Vamos usar expansão em série geométrica do derivado f'(x)=1/x, depois integrar termo a termo, determinar a constante de integração e analisar convergência.

Passo 2

Como sugestão, note que
f'(x)=\frac{1}{x} =\frac{1}{(x+1)-1} =-\frac{1}{1-(x+1)}.
Para |x+1|<1, a parte direita é série geométrica:
-\frac{1}{1-(x+1)} =-\sum_{n=0}^\infty (x+1)^n.
Integrando termo a termo em x,
f(x)=\int f'(x)\,dx =-\sum_{n=0}^\infty \int (x+1)^n\,dx =-\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C.
Para achar C, use x=-1:
\ln|-1|=0 deve igualar -\sum_{n=0}^\infty0+C=C, logo C=0.
Portanto
\boxed{ f(x)=\ln|x|=-\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}, \quad |x+1|<1. }

Passo 3

A série de f'(x) é geométrica com termo geral (x+1)^n, logo o raio de convergência é
R=1.
Isto dá o intervalo -2<x<0. Nos extremos:
  • Em x=-2: x+1=-1, a série de f vira
    \;-\sum(-1)^{n+1}/(n+1), que converge (série alternada) e soma \ln2, compatível com \ln|-2|.
  • Em x=0: x+1=1, a série é -\sum1/(n+1), que diverge (harmônica).
    Logo o intervalo de convergência é
\boxed{[-2,0)}.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle S=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}, note que isso é
\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\,n+1}}{n+1} =-\ln\bigl|x\bigr|\quad\text{com }x+1=\tfrac12\,(x=-\tfrac12).
Pelo resultado do Passo 2,
\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\,n+1}}{n+1} =-\,\ln\bigl|-{\tfrac12}\bigr| =-\ln\bigl(\tfrac12\bigr) =\ln2.
Portanto
\boxed{S=\ln2.}

Resposta

a) \displaystyle \ln|x|=-\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1},\;\;|x+1|<1.
b) Raio R=1, intervalo de convergência [-2,0).
c) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.

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