Considere a funçāo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}.
b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série obtida no item a );
c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor de f(x)=\ln|x| em torno de x=-1, achar raio e intervalo de convergência dessa série e, por fim, usar o resultado para computar
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.
Vamos usar expansão em série geométrica do derivado f'(x)=1/x, depois integrar termo a termo, determinar a constante de integração e analisar convergência.
a) \displaystyle \ln|x|=-\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1},\;\;|x+1|<1.
b) Raio R=1, intervalo de convergência [-2,0).
c) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln2.