Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=(n-3n)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
an=l(n-3nr)^n
e, se convergente, determinar seu limite. O conteúdo é cálculo de limite de sequência usando manipulação algébrica e o fato de que sequências do tipo l(1+tfracxnr)^n tendem a e^x.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral isolando a forma padrão:
an=l(n-3nr)^n =l(1-3nr)^n

Passo 3

Para analisar limntoinftyan, usamos o logaritmo natural:
ln an = nlnl(1-3nr)
Como para x pequeno vale ln(1+x)sim x, temos
limntoinftyln an =limntoinftynl(-3n+ol(tfrac1nr)r) =-3

Passo 4

Exponenciando, conclui-se que
limntoinftyan =expl(limntoinftyln anr) =exp(-3) =e^-3
Logo a sequência é convergente.

Resposta

limntoinftyan=e^-3

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