Monte uma integral dupla que fornece o volume do sólido limitado acima por z=2 y cos (x)+5, lateralmente por x=y^2 e por x=4 e abaixo por z=0.

Passo 1

Beleza, vamos montar uma integral dupla para encontrar o volume desse sólido. A gente vai trabalhar com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites das variáveis envolvidas e como elas interagem para definir a região que queremos calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as superfícies que limitam o sólido:
  • Superior: z = 2y cos(x) + 5
  • Inferior: z = 0
  • Laterais: x = y^2 e x = 4
Como o volume está entre z = 0 e z = 2y cos(x) + 5 , a altura em cada ponto (x, y) será dada por 2y cos(x) + 5 .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a região de integração no plano xy . As equações laterais são x = y^2 e x = 4 . Vamos esboçar essas curvas:
  • x = y^2 é uma parábola que se abre para a direita.
  • x = 4 é uma linha vertical.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de y :
y^2 = 4 implies y = pm 2
Então, y varia de -2 a 2.

Passo 4

Para cada valor de y entre -2 e 2, x varia de y^2 até 4. Assim, nossos limites de integração são:
  • y de -2 a 2
  • x de y^2 a 4

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Volume = integral-2^2 integraly^2^4 (2y cos(x) + 5) , dx , dy

Resposta

A integral dupla que fornece o volume do sólido é:
boxed integral-2^2 integraly^2^4 (2,y,cos(x) + 5) , dx , dy

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