Monte uma integral dupla que fornece o volume do sólido limitado acima por
, lateralmente por
e por
e abaixo por
.
Passo 1
Beleza, vamos montar uma integral dupla para encontrar o volume desse sólido. A gente vai trabalhar com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites das variáveis envolvidas e como elas interagem para definir a região que queremos calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as superfícies que limitam o sólido:
- Superior:
- Inferior:
- Laterais:
e
Como o volume está entre
e
, a altura em cada ponto
será dada por
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a região de integração no plano
. As equações laterais são
e
. Vamos esboçar essas curvas:
-
é uma parábola que se abre para a direita. -
é uma linha vertical.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de
:
Então,
varia de -2 a 2.
Passo 4
Para cada valor de
entre -2 e 2,
varia de
até 4. Assim, nossos limites de integração são:
-
de -2 a 2 -
de a 4
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Resposta
A integral dupla que fornece o volume do sólido é: