2- Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=0 e z=2+y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}=1, pelo plano inferior z=0 e pelo plano superior z=2+y.
Conteúdo: volume via integral tripla, que reduz a uma integral dupla sobre a base projetada no plano xy.

Passo 2

Projetando no plano xy, a região D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}. Em cada ponto (x,y)\in D, z varia de 0 até 2+y. Portanto
V=\iint_{D}\bigl[(2+y)-0\bigr]\,dA =\iint_{D}(2+y)\,dA.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
V=\iint_{D}2\,dA \;+\;\iint_{D}y\,dA.
A primeira é 2 vezes a área do disco de raio 1, e a segunda é zero por simetria (a função y é ímpar em relação ao eixo x e D é simétrico).

Passo 4

Calculemos cada parte:
A área de D é \pi\cdot1^{2}=\pi, logo
\iint_{D}2\,dA=2\cdot\pi=2\pi,
e
\iint_{D}y\,dA=0.
Somando, obtemos V=2\pi+0=2\pi.

Resposta

2\pi

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