Considere a função periódica
com período 3 dada por:
para
para
(a) Determine a série de Fourier da função.
(b) Esboce os 2 primeiros termos da soma parcial.
(c) O que a série fornece em
?
(a) Determine a série de Fourier da função.
(b) Esboce os 2 primeiros termos da soma parcial.
(c) O que a série fornece em
Passo 1
O enunciado dá a função periódica
e pede (a) sua série de Fourier, (b) o esboço da soma parcial com os dois primeiros termos e (c) o valor que a série assume em
:
com
Passo 2
Primeiro calculamos o termo médio
Devido à simetria
(meia-onda antissimétrica), todos os
se anulam.
Para fazemos a integral em dois trechos:
Para
Um cálculo detalhado leva a
Logo
se
é par, e se
é ímpar então
e
Passo 3
A série de Fourier fica, somando apenas
ímpares
:
Passo 4
Os dois primeiros termos (para
e
) dão a soma parcial
O esboço qualitativo mostra um sinal aproximado de onda quadrada, com pico perto de
em
e de
em
, apresentando oscilações (overshoot) próximas a
.
Passo 5
Em
a série de Fourier converge ao valor médio dos limites laterais:
Resposta
(a)
(b) A soma parcial com os dois primeiros termos é
cujo esboço se assemelha a uma aproximação de onda quadrada com overshoot em
.
(c) Em a série fornece o valor
.
(c) Em