Considere a função periódica f(x) com período 3 dada por:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1 para 0<\mathrm{x}<1.5
f(x)=-1 para 1.5<x<3
(a) Determine a série de Fourier da função.
(b) Esboce os 2 primeiros termos da soma parcial.
(c) O que a série fornece em x=1.5 ?

Passo 1

O enunciado dá a função periódica f\) de período \(T=3\), definida por \[f(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1{,}5,\\\\ -1,&1{,}5<x<3, \end{cases}
e pede (a) sua série de Fourier, (b) o esboço da soma parcial com os dois primeiros termos e (c) o valor que a série assume em x=1{,}5\]. Vamos usar a fórmula geral de série de Fourier para período \(3:
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)+b_{n}\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)\bigr],
com
a_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)\,dx,\quad b_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)\,dx.

Passo 2

Primeiro calculamos o termo médio
a_{0}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\,dx =\frac{2}{3}\Bigl(\int_{0}^{1.5}1\,dx+\int_{1.5}^{3}(-1)\,dx\Bigr) =\frac{2}{3}(1{,}5-1{,}5)=0.
Devido à simetria f(x+1{,}5)=-f(x) (meia-onda antissimétrica), todos os a_{n} se anulam.
Para b_{n} fazemos a integral em dois trechos:
b_{n}=\frac{2}{3}\Bigl(\int_{0}^{1.5}1\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)dx +\int_{1.5}^{3}(-1)\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}x\bigr)dx\Bigr).
Um cálculo detalhado leva a
b_{n} =\frac{2}{3}\,\frac{3}{\pi n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) =\frac{2}{\pi n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Logo b_{n}=0 se n é par, e se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e
b_{n}=\frac{2}{\pi n}\cdot2=\frac{4}{\pi n}.

Passo 3

A série de Fourier fica, somando apenas n ímpares k=1,3,5,\dots:
f(x)\sim \sum_{k\;\mathrm{ímpar}}\frac{4}{\pi k}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi k}{3}x\Bigr).í

Passo 4

Os dois primeiros termos (para k=1 e k=3) dão a soma parcial
S_{2}(x)=\frac{4}{\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}x\Bigr) +\frac{4}{3\pi}\sin\!\bigl(2\pi x\bigr).
O esboço qualitativo mostra um sinal aproximado de onda quadrada, com pico perto de 1 em 0<x<1{,}5 e de -1 em 1{,}5<x<3, apresentando oscilações (overshoot) próximas a x=1{,}5.

Passo 5

Em x=1{,}5 a série de Fourier converge ao valor médio dos limites laterais:
\frac{f(1{,}5^{-})+f(1{,}5^{+})}{2} =\frac{1+(-1)}{2}=0.

Resposta

(a) f(x)\sim \sum_{k\;\mathrm{ímpar}}\frac{4}{\pi k}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi k}{3}x\Bigr).í
(b) A soma parcial com os dois primeiros termos é
S_{2}(x)=\frac{4}{\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{3}\Bigr) +\frac{4}{3\pi}\sin\!\bigl(2\pi x\bigr),
cujo esboço se assemelha a uma aproximação de onda quadrada com overshoot em x=1{,}5.
(c) Em x=1{,}5 a série fornece o valor 0.

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