Seja
no intervalo
, com extensão par e período 4 .
(a) Encontre a série de Fourier da função.
(b) Determine a soma da série em
e
.
(c) Use os dois primeiros termos da série para estimar
.
(a) Encontre a série de Fourier da função.
(b) Determine a soma da série em
(c) Use os dois primeiros termos da série para estimar
Passo 1
O enunciado define a função
em
, estendida de forma par ao intervalo
e periodizada de período
. Assim, vamos construir a série de Fourier em cossenos com meio-período
.
Passo 2
Para extensão par e período
usamos a forma
com
Pela paridade,
e
.
Passo 3
Calculemos
:
Passo 4
Agora
Use integração por partes duas vezes ou a fórmula
com
. Como
e
, resulta
Passo 5
Portanto, a série de Fourier é
Passo 6
A soma da série em um ponto
é
.
Em ,
, logo a soma vale
.
Em , pela periodização e paridade
e
, logo a soma vale
.
Em
Em
Passo 7
Para estimar
usamos os dois primeiros termos
:
Como
e
, obtemos
Resposta
(a)
(b) Soma em
é
; soma em
é
.
(c) Com dois termos,
(c) Com dois termos,