Seja f(x)=x^{\wedge} 2 no intervalo 0<x<2, com extensão par e período 4 .
(a) Encontre a série de Fourier da função.
(b) Determine a soma da série em \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=2.
(c) Use os dois primeiros termos da série para estimar f(1).

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x^2 em 0<x<2, estendida de forma par ao intervalo -2<x<2 e periodizada de período 4. Assim, vamos construir a série de Fourier em cossenos com meio-período L=2.

Passo 2

Para extensão par e período 4 usamos a forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(n\pi x/2\bigr),
com
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\bigl(n\pi x/2\bigr)\,dx.
Pela paridade, a_0= \int_{0}^{2}x^2\,dx e a_n=\int_{0}^{2}x^2\cos(n\pi x/2)\,dx.

Passo 3

Calculemos a_0:
a_0=\int_{0}^{2}x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} =\frac{8}{3}.

Passo 4

Agora
a_n=\int_{0}^{2}x^2\cos\bigl(n\pi x/2\bigr)\,dx.
Use integração por partes duas vezes ou a fórmula
\int_{0}^{2}x^2\cos(kx)\,dx =\frac{4\sin(2k)}{k} +\frac{4\cos(2k)}{k^2} -\frac{2\sin(2k)}{k^3},
com k=n\pi/2. Como \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, resulta
a_n =\frac{4(-1)^n}{(n\pi/2)^2} =\frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Portanto, a série de Fourier é
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(n\pi x/2\bigr) =\frac{4}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2}\,\cos\bigl(n\pi x/2\bigr).

Passo 6

A soma da série em um ponto x é \bigl(f(x^-)+f(x^+)\bigr)/2.
Em x=0, f(0^-)=f(0^+)=0, logo a soma vale 0.
Em x=2, pela periodização e paridade f(2^-)=4 e f(2^+)=4, logo a soma vale 4.

Passo 7

Para estimar f(1) usamos os dois primeiros termos n=1,2:
f(1)\approx \frac{4}{3} +\frac{16(-1)^1}{1^2\pi^2}\cos\frac{\pi}{2} +\frac{16(-1)^2}{2^2\pi^2}\cos\pi.
Como \cos(\pi/2)=0 e \cos\pi=-1, obtemos
f(1)\approx \frac{4}{3}-\frac{16}{4\pi^2} =\frac{4}{3}-\frac{4}{\pi^2} \approx 0,928.

Resposta

(a) f(x)=\frac{4}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).
(b) Soma em x=0 é 0; soma em x=2 é 4.
(c) Com dois termos,
f(1)\approx \frac{4}{3}-\frac{4}{\pi^2}\approx0{,}928.

Exercícios relacionados