Seja f(x) uma função periódica com período 6 definida por: f(x)=x no intervalo (0,3),-x no intervalo (3,6).
(a) Encontre a série de Fourier da função f(x).
(b) Seja g(x)=f(f(x)). Qual o valor aproximado de g(1)+g(3) ?
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica f\) de período \(T=6\), definida por
\[f(x)= \begin{cases} x, &0<x<3,\\\\ -\,x, &3<x<6, \end{cases}
e pede:
(a) a série de Fourier de f\] em \([0,6] (estendida periodicamente);
(b) o valor aproximado de g(1)+g(3), onde g(x)=f(f(x)).
e o termo constante na série é \tfrac{a_0}{2}=-\tfrac{3}{2}.
Passo 3
Cálculo de a_n\) e \(b_n\) para \(n\ge1\). Defina \(k=n\pi/3\).
(i) Integrais de coseno:
\[a_n =\frac{1}{3}\Bigl[\!\int_0^3 x\cos(kx)\,dx-\int_3^6 x\cos(kx)\,dx\Bigr] =\frac{6\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.
Observamos que \;(-1)^n-1=0 se n é par e -2 se n é ímpar.
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