Seja f(x) uma função periódica com período 6 definida por:
f(x)=x no intervalo (0,3),-x no intervalo (3,6).
(a) Encontre a série de Fourier da função f(x).
(b) Seja g(x)=f(f(x)). Qual o valor aproximado de g(1)+g(3) ?

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica f\) de período \(T=6\), definida por \[f(x)= \begin{cases} x, &0<x<3,\\\\ -\,x, &3<x<6, \end{cases}
e pede:
(a) a série de Fourier de f\] em \([0,6] (estendida periodicamente);
(b) o valor aproximado de g(1)+g(3), onde g(x)=f(f(x)).
Para (a) vamos usar as fórmulas gerais
a_0=\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\cos\!\bigl(n\omega_0x\bigr)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\sin\!\bigl(n\omega_0x\bigr)\,dx,
com 2L=6 e \omega_0=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.

Passo 2

Cálculo de a_0:
\int_0^6 f(x)\,dx =\int_0^3 x\,dx+\int_3^6(-x)\,dx =\frac{3^2}{2}-\Bigl[\frac{6^2}{2}-\frac{3^2}{2}\Bigr] =\frac{9}{2}-\frac{27}{2}=-9.
Logo
a_0=\frac{1}{L}\int_0^6 f(x)\,dx =\frac{1}{3}(-9)=-3,
e o termo constante na série é \tfrac{a_0}{2}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Cálculo de a_n\) e \(b_n\) para \(n\ge1\). Defina \(k=n\pi/3\). (i) Integrais de coseno: \[a_n =\frac{1}{3}\Bigl[\!\int_0^3 x\cos(kx)\,dx-\int_3^6 x\cos(kx)\,dx\Bigr] =\frac{6\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.
Observamos que \;(-1)^n-1=0 se n é par e -2 se n é ímpar.
Logo
a_n= \begin{cases} 0, &n\text{ par},\\\\ -\dfrac{12}{n^2\pi^2}, &n\text{ ímpar}. \end{cases}í
(ii) Integrais de seno:
b_n =\frac{1}{3}\Bigl[\!\int_0^3 x\sin(kx)\,dx-\int_3^6 x\sin(kx)\,dx\Bigr] =\frac{6\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n\pi}.
Aqui 1-(-1)^n=0\] para \(n par e 2 para n ímpar.
Logo
b_n= \begin{cases} 0, &n\text{ par},\\\ \dfrac{12}{n\pi}, &n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 4

Escrevendo apenas os termos ímpares n=2k+1, a série de Fourier é
f(x) =-\frac{3}{2} +\sum_{k=0}^{\infty}\Biggl[ -\frac{12}{(2k+1)^2\pi^2}\, \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{3}\Bigr) \;+\;\frac{12}{(2k+1)\pi}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{3}\Bigr) \Biggr].

Passo 5

Agora g(x)=f\bigl(f(x)\bigr).
  • Para x=1, temos f(1)=1 (pois 1\in(0,3)), logo
g(1)=f\bigl(f(1)\bigr)=f(1)=1.
  • Para x=3, f tem descontinuidade: f(3^-)=3 e f(3^+)=-3.
    A série de Fourier de g em x=3 converge ao valor médio
\frac{g(3^-)+g(3^+)}{2} =\frac{f(3^-)+f(3^+)}{2} =\frac{3+(-3)}{2}=0.

Resposta

g( 1) +g( 3) \approx1+0=1.

Exercícios relacionados