1. Considere a função periódica f, de período 2 pi definida por f(x)=|x|,-pi <= x <= pi.
    (a) ( 1,0 pts ) Verifique(com detalhes) que a expansão em série de Fourier de f é
pi2-4pi sumk=1^infty 1(2 k-1)^2 cos (2 k-1) x
(b) ( 1,0 pts ) Use o item (a) para mostrar que sumk=1^infty 1(2 k-1)^2=pi^28.
(c) (1,0 pts) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da série sumk=1^infty 1(2 k-1)^4.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2pi
f(x)=|x|, -pi<= x<=pi,
e pede:
(a) a expansão em série de Fourier de f;
(b) usar essa expansão para obter sumk=1^infty1(2k-1)^2;
(c) usar (a) e a igualdade de Parseval para calcular sumk=1^infty1(2k-1)^4.
Vamos usar que f é par, então só aparecem termos em cosseno, e calcular a0 e an.

Passo 2

Calculamos o termo constante a0 da série, onde
a0=1piintegral-pi^pi|x|,dx = 2piintegral0^pix,dx = 2picdotpi^22 = pi

Passo 3

Para n>=1,
an=1piintegral-pi^pi|x|cos(nx),dx = 2piintegral0^pixcos(nx),dx
Fazendo integração por partes:
integral0^pixcos(nx),dx =l[xsin(nx)nr]0^pi -integral0^pisin(nx)n,dx =(-1)^n-1n^2 = -,dfrac2n^2, &n ímpar, 0, &n par í
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an= 2pitimes -,dfrac2n^2,&n ímpar, 0,&n par, ;=; -dfrac4pi,n^2,&n=2k-1, 0,&n=2k í

Passo 4

Reunindo, a série de Fourier de f é
f(x) =a02+sumn=1^inftyancos(nx) =pi2 +sumk=1^inftyl(-4pi(2k-1)^2r)cosl((2k-1)xr),
ou seja
boxed f(x)=pi2 -4pisumk=1^infty1(2k-1)^2cosl((2k-1)xr)

Passo 5

Em x=0 temos f(0)=|0|=0. Substituindo em (a):
0=pi2 -4pisumk=1^infty1(2k-1)^2 Longrightarrow sumk=1^infty1(2k-1)^2 =pi^28

Passo 6

A igualdade de Parseval para séries de Fourier pares diz
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx =a0^22+sumn=1^infty an^2
Calculamos o LHS:
1piintegral-pi^pix^2,dx =2piintegral0^pix^2,dx =2picdotpi^33 =2pi^23
No RHS,
a0^22 =pi^22, sumn=1^infty an^2 =sumk=1^inftyl(4pi(2k-1)^2r)^!2 =16pi^2sumk=1^infty1(2k-1)^4
Assim
2pi^23 =pi^22 +16pi^2sumk=1^infty1(2k-1)^4 ;Longrightarrow; sumk=1^infty1(2k-1)^4 =pi^496

Resposta

(a)
f(x)=pi2 -4pisumk=1^infty1(2k-1)^2cosl((2k-1)xr)
(b) sumk=1^infty1(2k-1)^2=pi^28
(c) sumk=1^infty1(2k-1)^4=pi^496

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