Considere a função periódica , de período definida por .
(a) ( ) Verifique(com detalhes) que a expansão em série de Fourier de é
(b) ( ) Use o item (a) para mostrar que .
(c) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da série .
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
e pede:
(a) a expansão em série de Fourier de ;
(b) usar essa expansão para obter ;
(c) usar (a) e a igualdade de Parseval para calcular .
Vamos usar que é par, então só aparecem termos em cosseno, e calcular e .
Passo 2
Calculamos o termo constante da série, onde
Passo 3
Para ,
Fazendo integração por partes:
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an= 2pitimes -,dfrac2n^2,&n ímpar, 0,&n par, ;=; -dfrac4pi,n^2,&n=2k-1, 0,&n=2k í