Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime=cos ^2 xcos ^2(2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = cos^2 xcos^2(2y)
Este é um caso clássico de EDO separável: podemos colocar todos os termos em y acompanhados de dy de um lado e os termos em x com dx do outro.

Passo 2

Separe as variáveis isolando dy e dx:
cos^2(2y),dy = cos^2 x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados usando a identidade cos^2 t = tfrac1+cos(2t)2.
Para o lado em y:
integral cos^2(2y),dy = integral 1+cos(4y)2,dy = 12y + 18sin(4y)
Para o lado em x:
integral cos^2 x,dx = integral 1+cos(2x)2,dx = 12x + 14sin(2x)

Passo 4

Igualando as duas primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos
12y + 18sin(4y) = 12x + 14sin(2x) + C
Multiplicando tudo por 8 para simplificar,
4y + sin(4y) = 4x + 2sin(2x) + C'

Resposta

A solução geral (implícita) da equação diferencial é
4y + sin(4y) = 4x + 2sin(2x) + C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados