Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
x y^prime=raiz1-y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = raiz1 - y^2,
onde usamos y' = dfracdydx.
O conteúdo aqui é o método de variáveis separáveis, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
dydx = raiz1 - y^2x,
e então separamos as variáveis y e x:
dyraiz1 - y^2 = dxx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos a primitiva de 1/raiz1 - y^2, que é arcsin(y); no direito sai ln|x|. Logo,
integral dyraiz1 - y^2 = integral dxx Longrightarrow arcsin(y) = lnlvert xrvert + C,
em que C é a constante de integração.

Passo 4

Para obter y, aplicamos o seno em ambos os lados:
y = sinl(lnlvert xrvert + Cr)
Podemos absorver o C dentro da fase do seno, escrevendo C = C1, de modo que a solução geral não-trivial seja
y(x) = sin!l(lnlvert xrvert + C1r)

Passo 5

Além dessa família de soluções, valem também as soluções constantes que anulam o lado direito da EDO, ou seja,
y(x) equiv 1 e y(x)equiv -1,
pois nelas raiz1 - y^2=0 e y'=0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = sin!l(lnlvert xrvert + C1r),
mais as soluções constantes
y(x)equiv 1 e y(x)equiv -1

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