Questão 4 : (2 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear que triplica o comprimento do vetor u=(2,1) e quadruplica o comprimento do vetor v=(1,2), sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
a) Determine T(x, y).
b) Exiba uma base na qual a matriz que representa o operador é diagonal.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que satisfaz
T(u)=3\,u,\quad u=(2,1),
T(v)=4\,v,\quad v=(1,2),
sem mudar direções nem inverter sentidos.
O que precisamos: 1. Determinar a fórmula de T(x,y) na base canônica. 2. Exibir uma base em que a matriz de T seja diagonal.
Passo 2
Note que u e v são múltiplos lineares independentes (determinante \det[u\;v]=2\cdot2-1\cdot1=3\neq0), logo formam base de \mathbb{R}^2.
Seja
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix},
cujas colunas são u e v. Em relação a essa base, T é diagonal com autovalores 3 e 4, ou seja
Uma base em que a matriz de T é diagonal é exatamente formada pelos autovetores u e v, ou seja:
\{\, (2,1),\,(1,2)\}.
Resposta
a) \displaystyle T(x,y)=\bigl(\tfrac{8x+2y}{3},\,\tfrac{-2x+13y}{3}\bigr).
b) Uma base que diagonaliza T é \{(2,1),\,(1,2)\}, em que a matriz de T é \mathrm{diag}(3,4).