• Questão 4 : (2 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear que triplica o comprimento do vetor u=(2,1) e quadruplica o comprimento do vetor v=(1,2), sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
    a) Determine T(x, y).
    b) Exiba uma base na qual a matriz que representa o operador é diagonal.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que satisfaz
T(u)=3\,u,\quad u=(2,1),
T(v)=4\,v,\quad v=(1,2),
sem mudar direções nem inverter sentidos.
O que precisamos:
1. Determinar a fórmula de T(x,y) na base canônica.
2. Exibir uma base em que a matriz de T seja diagonal.

Passo 2

Note que u e v são múltiplos lineares independentes (determinante \det[u\;v]=2\cdot2-1\cdot1=3\neq0), logo formam base de \mathbb{R}^2.
Seja
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix},
cujas colunas são u e v. Em relação a essa base, T é diagonal com autovalores 3 e 4, ou seja
D=\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos a inversa de P. Como \det P=3,
P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A = P\,D\,P^{-1}.
Primeiro
P\,D =\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 4\\\ 3 & 8\end{pmatrix}.
Depois
\begin{pmatrix}6 & 4\\\ 3 & 8\end{pmatrix} \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 6\cdot2 + 4\cdot(-1) & 6\cdot(-1) + 4\cdot2\\\\ 3\cdot2 + 8\cdot(-1) & 3\cdot(-1) + 8\cdot2 \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}8 & 2\\\ -2 & 13\end{pmatrix}.
Portanto
A = \begin{pmatrix}\tfrac{8}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{-2}{3} & \tfrac{13}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Da matriz A obtemos a fórmula de T na base canônica:
T(x,y) =\begin{pmatrix}\tfrac{8}{3} & \tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{-2}{3} & \tfrac{13}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{8x+2y}{3}\\[4pt]\tfrac{-2x+13y}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Uma base em que a matriz de T é diagonal é exatamente formada pelos autovetores u e v, ou seja:
\{\, (2,1),\,(1,2)\}.

Resposta

a) \displaystyle T(x,y)=\bigl(\tfrac{8x+2y}{3},\,\tfrac{-2x+13y}{3}\bigr).
b) Uma base que diagonaliza T é \{(2,1),\,(1,2)\}, em que a matriz de T é \mathrm{diag}(3,4).

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