Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3}

Passo 1

Temos a função
g(x)=12 - 3x^{2} - 2x^{3}
O objetivo é esboçar o seu gráfico, indicando
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima ou para baixo.

Passo 2

O domínio de g é todo o conjunto dos números reais, pois é um polinômio. Nos extremos do domínio temos o termo de maior grau -2x^{3}, logo
\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty,
\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty.

Passo 3

Para achar crescimento/decrescimento, calculamos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12 - 3x^{2} - 2x^{3}\bigr) =-6x - 6x^{2} =-6x(1+x).
As raízes são x=-1 e x=0. Fazendo o quadro de sinais de g'(x):
  • Para x<-1, -6x>0 e (1+x)<0, então g'(x)<0.
  • Para -1<x<0, -6x>0 e (1+x)>0, então g'(x)>0.
  • Para x>0, -6x<0 e (1+x)>0, então g'(x)<0.
    Portanto
  • g é decrescente em (-\infty,-1) e em (0,+\infty).
  • g é crescente em (-1,0).
    Em x=-1 ocorre mínimo local e em x=0 máximo local.

Passo 4

Para a concavidade, calculamos
g''(x)=\frac{d}{dx}(-6x - 6x^{2}) =-6 -12x.
A inflexão ocorre quando g''(x)=0, i.e.\ em x=-\tfrac12.
  • Se x<-\tfrac12, então -6 -12x>0 e g é côncava para cima.
  • Se x>-\tfrac12, então -6 -12x<0 e g é côncava para baixo.

Passo 5

Resumo dos pontos notáveis:
g(-1)=12 -3(1)-2(-1)=11\quad(\text{mínimo local}),í
g(0)=12\quad(\text{máximo local}),á
g\bigl(-\tfrac12\bigr)=12 -3\bigl(\tfrac14\bigr)-2\bigl(-\tfrac18\bigr)=11{,}5\quad(\text{ponto de inflexão}).ã
Com isso, o esboço é de um cúbico com coeficiente líder negativo, subindo à esquerda até um mínimo em (-1,11), depois subindo até um máximo em (0,12), e caindo para -\infty à medida que x\to+\infty. A inflexão em (-0{,}5,11{,}5) marca a troca de concavidade.

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}.
b) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.
c) g é decrescente em (-\infty,-1), crescente em (-1,0) e decrescente em (0,+\infty).
d) g é côncava para cima em (-\infty,-\tfrac12) e côncava para baixo em (-\tfrac12,+\infty).
Esboço: cúbico caindo à direita, subindo à esquerda, mínimo em (-1,11), máximo em (0,12) e inflexão em \bigl(-\tfrac12,11{,}5\bigr).

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