Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Temos a função
O objetivo é esboçar o seu gráfico, indicando
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima ou para baixo.
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima ou para baixo.
Passo 2
O domínio de
é todo o conjunto dos números reais, pois é um polinômio. Nos extremos do domínio temos o termo de maior grau
, logo
Passo 3
Para achar crescimento/decrescimento, calculamos
As raízes são
e
. Fazendo o quadro de sinais de
:
- Para
, e , então . - Para
, e , então . - Para
, e , então .
Portanto -
é decrescente em e em . -
é crescente em .
Emocorre mínimo local e em máximo local.
Passo 4
Para a concavidade, calculamos
A inflexão ocorre quando
, i.e.\ em
.
- Se
, então e é côncava para cima. - Se
, então e é côncava para baixo.
Passo 5
Resumo dos pontos notáveis:
Com isso, o esboço é de um cúbico com coeficiente líder negativo, subindo à esquerda até um mínimo em
, depois subindo até um máximo em
, e caindo para
à medida que
. A inflexão em
marca a troca de concavidade.
Resposta
a) Domínio:
.
b) e
.
c) é decrescente em
, crescente em
e decrescente em
.
d) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Esboço: cúbico caindo à direita, subindo à esquerda, mínimo em , máximo em
e inflexão em
.
b)
c)
d)
Esboço: cúbico caindo à direita, subindo à esquerda, mínimo em