Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 3 t,-t\rangle

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\langle 1+t,\;3t,\;-t\rangle
ou seja, uma reta no espaço. Precisamos identificar um ponto inicial, o vetor direção e mostrar com setas como t cresce.

Passo 2

Para t=0 temos
\mathbf{r}(0)=\langle 1,\,0,\,0\rangle,
logo o ponto inicial é P=(1,0,0). O vetor direção \mathbf{v} é dado pelos coeficientes de t:
\mathbf{v}=\langle 1,\,3,\,-1\rangle.

Passo 3

As equações paramétricas da reta são
x=1+t,\quad y=3t,\quad z=-\,t.

Passo 4

Escolhendo valores de t para marcar pontos:
\begin{aligned} t=-1&\implies \mathbf{r}(-1)=\langle 0,\,-3,\,1\rangle,\\\ t=0&\implies \mathbf{r}(0)=\langle 1,\,0,\,0\rangle,\\\ t=1&\implies \mathbf{r}(1)=\langle 2,\,3,\,-1\rangle. \end{aligned}

Passo 5

Para esboçar, faça um sistema de eixos x,y,z, marque os pontos (0,-3,1), (1,0,0), (2,3,-1) e ligue-os por uma reta. Desenhe uma seta apontando de (0,-3,1) para (1,0,0) e seguindo até (2,3,-1), indicando o sentido de aumento de t.

Resposta

A curva é a reta que passa por (1,0,0) com direção \langle1,3,-1\rangle. No esboço, trace a reta passando pelos pontos obtidos e coloque setas no sentido em que t cresce (de (0,-3,1) para (1,0,0) para (2,3,-1)).

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