Considere a função f(x, y)=x^2+y^2-2 x e o ponto P0=(3,3). Determine:
A taxa de variação de f em P0 na direção do vetor u=(3,4).

Passo 1

O problema pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^2+y^2-2x
no ponto P0=(3,3) na direção do vetor vec u=(3,4). Para isso precisamos calcular o gradiente de f em P0 e em seguida tomar o produto escalar com o versor (vetor unitário) na direção de vec u.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f pelas derivadas parciais:
partial fpartial x=2x-2, partial fpartial y=2y

Passo 3

Avaliamo-s essas derivadas em P0=(3,3):
nabla f(3,3)=(2cdot 3 - 2,; 2cdot 3) = (4,6)

Passo 4

Obtemos o versor na direção de vec u=(3,4). Primeiro o módulo:
|vec u|=raiz3^2+4^2=5
Logo o versor é
hat u=vec u|vec u| =15(3,4) =l(tfrac35,tfrac45r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P0 na direção de hat u é o produto escalar
Dhat uf(3,3) =nabla f(3,3)cdothat u =(4,6)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =4cdot3+6cdot45 =365

Resposta

365

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