Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função f no ponto P0 e na direção do vetor u.
f(x, y)=raiz5-x^2-y^2, P0=(0,1), u=(4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = raiz5 - x^2 - y^2 no ponto P0 = (0, 1) na direção do vetor u = (4, 3) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função numa direção específica, dada por um vetor. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto P0 e de um vetor direcional unitário na direção de u .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a x e y .
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas:
partial fpartial x = -xraiz5 - x^2 - y^2
partial fpartial y = -yraiz5 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P0 = (0, 1) :
partial fpartial xg|(0,1) = -0raiz5 - 0 - 1 = 0
partial fpartial yg|(0,1) = -1raiz5 - 0 - 1 = -12
Então, o gradiente no ponto P0 é:
nabla f(0, 1) = ( 0, -12 )

Passo 5

Em seguida, precisamos obter o vetor direcional unitário na direção de u = (4, 3) . Primeiro, calculamos o comprimento (ou norma) de u :
| u | = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = 5
Então, o vetor unitário é:
uunit = ( 45, 35 )

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Du f(0, 1) = nabla f(0, 1) cdot uunit = ( 0, -12 ) cdot ( 45, 35 ) = 0 times 45 + ( -12 ) times 35 = -310

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P0 na direção de u é -310 .

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