Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função no ponto e na direção do vetor . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função numa direção específica, dada por um vetor. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e de um vetor direcional unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
partial fpartial yg|(0,1) = -1raiz5 - 0 - 1 = -12
Então, o gradiente no ponto P0 é:
nabla f(0, 1) = ( 0, -12 )
Passo 5
Em seguida, precisamos obter o vetor direcional unitário na direção de u = (4, 3) . Primeiro, calculamos o comprimento (ou norma) de u :
| u | = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = 5
Então, o vetor unitário é:
uunit = ( 45, 35 )
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário: