Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
g) f(x, y) = e^3 * x + 2 * y - 5 * x^2 - 7 * x * y + 2 * y^3 + 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . O desafio é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular essas derivadas mantendo uma das variáveis constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Derivada parcial em relação a :
Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Calculando cada termo:
Derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, que são as derivadas das derivadas de primeira ordem.
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
Aqui, e são constantes em relação a , então suas derivadas são zero.
Derivada mista ( ):
A única variável que muda aqui é , portanto a derivada de em relação a é .
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
A derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

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