Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. O desafio é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular essas derivadas mantendo uma das variáveis constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Ao derivar em relação a , tratamos
como uma constante.
Ao derivar em relação a
Calculando cada termo:
Derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos em relação a , tratando
como uma constante.
Agora, derivamos em relação a
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, que são as derivadas das derivadas de primeira ordem.
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
Aqui,
e
são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.
Derivada mista (
):
A única variável que muda aqui é
, portanto a derivada de
em relação a
é
.
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
A derivada de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: