Considere a função quadrática f(x)=a x^2+b x+c, em que f(0)=6, f(1)=2 e f(-2)=20. Determine f(x) e calcule f(1 / 2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos uma função quadrática da forma f(x) = a x^2 + b x + c. Sabemos que f(0) = 6, f(1) = 2 e f(-2) = 20. Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c para determinar a função completa e, em seguida, calcular f(12). Para isso, vamos precisar usar sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação f(0) = 6. Substituindo x = 0 na função:
f(0) = a cdot 0^2 + b cdot 0 + c = c = 6
Então, já sabemos que c = 6.

Passo 3

Agora, vamos usar f(1) = 2. Substituindo x = 1 na função:
f(1) = a cdot 1^2 + b cdot 1 + 6 = a + b + 6 = 2
Isso simplifica para:
a + b = 2 - 6 Rightarrow a + b = -4 (Equação 1) çã

Passo 4

Vamos usar agora f(-2) = 20. Substituindo x = -2 na função:
f(-2) = a cdot (-2)^2 + b cdot (-2) + 6 = 4a - 2b + 6 = 20
Simplificando:
4a - 2b = 20 - 6 Rightarrow 4a - 2b = 14 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. a + b = -4
  2. 4a - 2b = 14
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
2a + 2b = -8 (Equação 1 mu<iplicada por 2) çã
Agora, somamos com a Equação 2:
4a - 2b + 2a + 2b = 14 - 8 6a = 6 a = 1

Passo 6

Com o valor de a = 1, substituímos na Equação 1 para encontrar b:
1 + b = -4 Rightarrow b = -5

Passo 7

Agora que temos a = 1, b = -5 e c = 6, a função quadrática completa é:
f(x) = 1 cdot x^2 - 5 cdot x + 6 f(x) = x^2 - 5x + 6

Passo 8

Por fim, vamos calcular f(12) substituindo x = 12 na função:
f(12) = (12)^2 - 5 cdot (12) + 6 f(12) = 14 - 52 + 6 f(12) = 14 - 104 + 244 f(12) = 154 f(12) = 3,75

Resposta

A função quadrática é f(x) = x^2 - 5x + 6 e f(12) = 3,75.

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