Seja
uma função derivável.
a) Mostre que
é uma função par se, e somente se,
é uma função ímpar.
b) Mostre que
é uma função ímpar se, e somente se,
e
é uma função par. A hipótese
pode ser omitida?
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de uma função diferenciável
e pede duas coisas:
a) Mostrar que
é par
é ímpar.
b) Mostrar que é ímpar
e
é par, e discutir se a condição
é dispensável.
b) Mostrar que
Para isso, vamos usar definições de função par/ímpar, a regra da cadeia para derivadas e a representação de
por integral de
.
Passo 2
Prova de (a), direção “se
é par então
é ímpar”.
Como
é par, temos
Diferenciando ambos os lados em relação a
, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Logo
ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Prova de (a), direção “se
é ímpar então
é par”.
Suponha
Como
é diferenciável, podemos escrever para todo
:
Para
temos
Portanto
isto é,
é par.
Passo 4
Prova de (b), direção “se
é ímpar então
e
é par”.
Como
é ímpar, vale
Tomando
segue
, ou seja,
. Agora diferenciamos
e, pela regra da cadeia,
mostrando que
é par.
Passo 5
Prova de (b), direção “se
e
é par então
é ímpar”.
Suponha
e
Então
Para
:
Logo
é ímpar.
Passo 6
A condição
pode ser omitida?
Não. Se só tivéssemos
par, do cálculo por integrais obteríamos
ímpar mas não
em si. Só quando
temos
, garantindo a paridade ímpar de
. Assim,
é essencial para a equivalência em (b).
Resposta
a)
é par se, e somente se,
é ímpar.
b) é ímpar se, e somente se,
e
é par. A hipótese
não pode ser omitida.
b)