Seja f: R R uma função derivável.
a) Mostre que f é uma função par se, e somente se, f^prime é uma função ímpar.
b) Mostre que f é uma função ímpar se, e somente se, f(0)=0 e f^prime é uma função par. A hipótese f(0)=0 pode ser omitida?

Passo 1

O enunciado trata de uma função diferenciável f:RtoR e pede duas coisas:
a) Mostrar que f é par Leftrightarrow f' é ímpar.
b) Mostrar que f é ímpar Leftrightarrow f(0)=0 e f' é par, e discutir se a condição f(0)=0 é dispensável.
Para isso, vamos usar definições de função par/ímpar, a regra da cadeia para derivadas e a representação de f(x) por integral de f'.

Passo 2

Prova de (a), direção “se f é par então f' é ímpar”.
Como f é par, temos
f(-x)=f(x)forall x
Diferenciando ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
ddxf(-x) = f'(-x)cdot(-1) e ddxf(x)=f'(x)
Logo
-,f'(-x)=f'(x) ;Longrightarrow; f'(-x)=-,f'(x),
ou seja, f' é ímpar.

Passo 3

Prova de (a), direção “se f' é ímpar então f é par”.
Suponha
f'(-x)=-,f'(x)
Como f é diferenciável, podemos escrever para todo x:
f(x)-f(0)=integral0^xf'(t),dt
Para -x temos
f(-x)-f(0)=integral0^-xf'(t),dt =-integral0^xf'(-u),du =-integral0^x(-f'(u)),du =integral0^xf'(u),du
Portanto
f(-x)-f(0)=f(x)-f(0) ;Longrightarrow; f(-x)=f(x),
isto é, f é par.

Passo 4

Prova de (b), direção “se f é ímpar então f(0)=0 e f' é par”.
Como f é ímpar, vale
f(-x)=-,f(x)
Tomando x=0 segue f(0)=-f(0), ou seja, f(0)=0. Agora diferenciamos
f(-x)=-,f(x)
e, pela regra da cadeia,
-,f'(-x)=-,f'(x) ;Longrightarrow; f'(-x)=f'(x),
mostrando que f' é par.

Passo 5

Prova de (b), direção “se f(0)=0 e f' é par então f é ímpar”.
Suponha f(0)=0 e
f'(-x)=f'(x)
Então
f(x)=f(0)+integral0^xf'(t),dt =integral0^xf'(t),dt
Para -x:
f(-x)=integral0^-xf'(t),dt =-integral0^xf'(-u),du =-integral0^xf'(u),du =-,f(x)
Logo f é ímpar.

Passo 6

A condição f(0)=0 pode ser omitida?
Não. Se só tivéssemos f' par, do cálculo por integrais obteríamos f(x)-f(0) ímpar mas não f em si. Só quando f(0)=0 temos f(x)=f(x)-f(0), garantindo a paridade ímpar de f. Assim, f(0)=0 é essencial para a equivalência em (b).

Resposta

a) f é par se, e somente se, f' é ímpar.
b) f é ímpar se, e somente se, f(0)=0 e f' é par. A hipótese f(0)=0 não pode ser omitida.

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