Seja a função quadrática f(x)=a x^2+b x+3, em que f(2)=f(-2) e f(1)=1 / 2. Nessas condições, determine o valor de f(-4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função quadrática da forma f(x) = ax^2 + bx + 3 . A questão nos dá duas condições: f(2) = f(-2) e f(1) = 12 . Nosso objetivo é descobrir o valor de f(-4) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas e sistemas de equações para encontrar os coeficientes a e b .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição f(2) = f(-2) . Isso significa que, quando substituímos x por 2 e -2 na função, os resultados são iguais. Vamos fazer as substituições:
f(2) = a(2)^2 + b(2) + 3
f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + 3
Como f(2) = f(-2) , podemos igualar as duas expressões:
a(2)^2 + b(2) + 3 = a(-2)^2 + b(-2) + 3

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
4a + 2b + 3 = 4a - 2b + 3
Agora, vamos subtrair 4a e 3 de ambos os lados:
2b = -2b
Somando 2b em ambos os lados:
4b = 0
Dividindo ambos os lados por 4:
b = 0
Então, descobrimos que b = 0 .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição f(1) = 12 para encontrar o valor de a . Substituímos x = 1 na função:
f(1) = a(1)^2 + b(1) + 3 = 12
Sabemos que b = 0 , então:
a + 0 + 3 = 12
a + 3 = 12
Subtraindo 3 de ambos os lados:
a = 12 - 3
a = 12 - 62
a = -52
Então, a = -52 .

Passo 5

Agora que temos os valores de a e b , podemos escrever a função completa:
f(x) = -52x^2 + 0x + 3
f(x) = -52x^2 + 3
Queremos encontrar f(-4) . Vamos substituir x = -4 :
f(-4) = -52(-4)^2 + 3
f(-4) = -52(16) + 3
f(-4) = -40 + 3
f(-4) = -37

Resposta

f(-4) = -37

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