Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
h(x)= x^2-4, & se x<3 2 x-1, & se x >= 3

Passo 1

O enunciado define a função por partes
h(x)= x^2-4, & x<3, 2x-1, & x>=3
Precisamos encontrar o domínio, a imagem, esboçar o gráfico e verificar se h é injetora. Vamos usar análise de cada ramo, comportamento assintótico e definição de injetividade.

Passo 2

Para o domínio basta observar que os dois ramos cobrem todos os reais sem lacuna: o primeiro para x<3 e o segundo para x>=3. Logo
Dom(h)=(-infty,infty)

Passo 3

Analisamos a imagem de cada ramo e depois unimos os resultados.
Para x<3, h(x)=x^2-4. Essa parábola tem vértice em (0,-4) e cresce quando |x|toinfty, de modo que o valor mínimo é -4 (atingido em x=0) e não há teto superior:
Im1=[-4,infty)
Para x>=3, h(x)=2x-1 é uma função afim crescente, assume em x=3 o valor 2cdot3-1=5 e vai a +infty. Assim
Im2=[5,infty)
Unindo os intervalos, como [5,infty)subset[-4,infty), fica
Im(h)=[-4,infty)

Passo 4

O gráfico é formado por dois trechos:
  1. Para x<3, a porção da parábola y=x^2-4 terminando em ponto aberto l(3,5r).
  2. Para x>=3, a reta y=2x-1 começando em ponto fechado l(3,5r) e subindo indefinidamente.
    No eixo y o mínimo ocorre em (0,-4). Em x=3 há troca de ramo com continuidade (o valor limite à esquerda é 5 e o valor à direita também é 5).

Passo 5

Para testar injetividade, basta achar x1neq x2 tais que h(x1)=h(x2). Por exemplo, em x1=-1 e x2=1, ambos no ramo x<3, temos
h(-1)=(-1)^2-4=-3, h(1)=1^2-4=-3,
logo h(-1)=h(1) com -1neq1. Portanto h não é injetora.

Resposta

Domínio: (-infty,infty)
Imagem: [-4,infty)
Gráfico: trecho da parábola y=x^2-4 para x<3 com ponto aberto em (3,5), e reta y=2x-1 para x>=3 com ponto fechado em (3,5).
Injetividade: h não é injetora.

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