Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
y=|x| cdot|x-1|

Passo 1

O enunciado pede domínio, imagem, esboço do gráfico e verificar injetividade da função
y = |x|;l|x - 1r|
Aqui vamos usar propriedades do valor absoluto e estudar a função por partes para conseguir tudo isso.

Passo 2

Não há nenhuma restrição de denominador ou radiciação. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(f)=R

Passo 3

Para entender o comportamento de
f(x)=|x|cdot|x-1|
é útil reescrevê-la em três regiões, conforme o sinal de x e de x-1:
f(x)= -x,(1-x)=x^2-x, & x<0, x,(1-x)=x - x^2, & 0 <= x < 1, x,(x-1)=x^2 - x, & x >= 1

Passo 4

1. Em cada ramo f(x)>=0, pois produto de valores absolutos.
2. As raízes vêm de |x|=0 ou |x-1|=0, ou seja
f(x)=0Longrightarrow x=0;ou;x=1
3. No intervalo 0<= x<=1, temos a parábola y=x - x^2 (côncava para baixo) cujo vértice está em
x=12, fl(tfrac12r)=tfrac12-tfrac14=tfrac14
4. Para xtopminfty, vale f(x)sim x^2toinfty.
Portanto o valor mínimo de f é 0 (atingido em x=0 e x=1) e não há máximo finito. Logo
Im(f)=[0,infty)

Passo 5

O gráfico é formado por:
– Nos ramos x<0 e x>1, a curva é a parábola y=x^2-x (côncava para cima).
– Em 0<= x<=1, a curva é y=x-x^2 (côncava para baixo), ligando suavemente os pontos (0,0) e (1,0), com pico em l(tfrac12,tfrac14r).
Com isso descrevemos todo o esboço, mostrando que a imagem é [0,infty).

Passo 6

Para ser injetora, cada valor de y teria de corresponder a no máximo um x. Mas já vimos que
f(0)=0=f(1),
ou seja dois x distintos dão o mesmo y. Logo f não é injetora.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,infty)
Injetora: não
Gráfico: duas parábolas côncavas para cima em x<0 e x>1 (dadas por y=x^2-x), e parábola côncava para baixo em 0<= x<=1 (dada por y=x-x^2), conectadas em (0,0) e (1,0), com ponto máximo em l(tfrac12,tfrac14r).

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