Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e também fazer um esboço do gráfico da função quadrática envolvida. Informações dadas que vamos usar:
- A expressão é um polinômio quadrático com coeficientes
, , . - Queremos todos os valores de
que satisfazem a desigualdade . - Para o esboço precisamos dos zeros (raízes), da concavidade e do vértice.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar as raízes da equação associada (igualdade), porque raízes dividem a reta real em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. A equação é
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 3
Como
, a raiz quadrada é
. As raízes pela fórmula
são
Calculemos as duas possibilidades:
Portanto os zeros são
e
.
Passo 4
Agora analisamos a concavidade para saber onde o polinômio é positivo ou negativo. O coeficiente líder é
, que é negativo, então a parábola abre para baixo (tem um máximo). Consequência prática: para
muito grandes (em módulo) a função tende a
, ou seja, fora do intervalo entre as raízes o valor tende a ser negativo; entre as raízes o valor será positivo (ou zero nas raízes). Mas não confie só na intuição: testamos um ponto interno para confirmar.
Passo 5
Teste de sinal: escolha um ponto entre as raízes, por exemplo
(que está entre
e
). Avaliando:
Então no intervalo
a expressão é positiva. Como a parábola abre para baixo, nos intervalos fora das raízes a expressão será negativa. Portanto a desigualdade
é satisfeita onde a expressão é negativa ou zero, isto é, fora do intervalo aberto entre as raízes, incluindo as raízes (pois temos
, com igualdade permitida).
Passo 6
Também é útil escrever a fatoração para ver claramente os sinais:
Analisando os sinais dos fatores em cada região da reta:
- Para
: , ⇒ produto dos dois fatores , multiplicando por (negativo) dá resultado . - Para
: , ⇒ produto , multiplicando por dá . - Para
: ambos fatores ⇒ produto , multiplicando por dá .
Isto confirma que a solução da inequação
é
Passo 7
Para o esboço do gráfico precisamos dos pontos-chave:
- Zeros (raízes):
e . - Intercepto em
: em temos , então ponto . - Vértice: a abscissa do vértice é
. A ordenada é
Logo vértice em
(máximo da parábola).
- Concavidade: para baixo (máximo).
Esboço aproximado (simbólico, eixo
horizontal,
vertical):
y
^
^
| * |
|---|
| / \ <- vértice
|
| / \ |
| —*-----/--------------> x |
|
|
(o gráfico cruza o eixo
em
e
, passa por
e atinge máximo no vértice indicado)
Resposta
Parábola com concavidade para baixo, zeros em