Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
-3 x^{2}-8 x+3 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-3x^{2}-8x+3 \leq 0
e também fazer um esboço do gráfico da função quadrática envolvida. Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão é um polinômio quadrático com coeficientes a=-3, b=-8, c=3.
  • Queremos todos os valores de x que satisfazem a desigualdade -3x^{2}-8x+3 \leq 0.
  • Para o esboço precisamos dos zeros (raízes), da concavidade e do vértice.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar as raízes da equação associada (igualdade), porque raízes dividem a reta real em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. A equação é
-3x^{2}-8x+3 = 0.
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-8)^{2}-4(-3)(3).
Calculemos passo a passo:
(-8)^{2}=64,
4(-3)(3)=4\cdot(-9)=-36,
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\Delta = 64 - (-36) = 64+36 = 100.

Passo 3

Como \Delta=100, a raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=10. As raízes pela fórmula
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
são
x = \frac{-(-8)\pm 10}{2(-3)} = \frac{8\pm 10}{-6}.
Calculemos as duas possibilidades:
x_1 = \frac{8+10}{-6} = \frac{18}{-6} = -3,
x_2 = \frac{8-10}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}.
Portanto os zeros são \,x=-3 e \,x=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora analisamos a concavidade para saber onde o polinômio é positivo ou negativo. O coeficiente líder é a=-3, que é negativo, então a parábola abre para baixo (tem um máximo). Consequência prática: para x muito grandes (em módulo) a função tende a -\infty, ou seja, fora do intervalo entre as raízes o valor tende a ser negativo; entre as raízes o valor será positivo (ou zero nas raízes). Mas não confie só na intuição: testamos um ponto interno para confirmar.

Passo 5

Teste de sinal: escolha um ponto entre as raízes, por exemplo x=0 (que está entre -3 e \tfrac{1}{3}). Avaliando:
-3(0)^{2}-8(0)+3 = 3 > 0.
Então no intervalo (-3,\tfrac{1}{3}) a expressão é positiva. Como a parábola abre para baixo, nos intervalos fora das raízes a expressão será negativa. Portanto a desigualdade \leq 0 é satisfeita onde a expressão é negativa ou zero, isto é, fora do intervalo aberto entre as raízes, incluindo as raízes (pois temos \leq, com igualdade permitida).

Passo 6

Também é útil escrever a fatoração para ver claramente os sinais:
-3x^{2}-8x+3 = -3\bigl(x+3\bigr)\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr).
Analisando os sinais dos fatores em cada região da reta:
  • Para x<-3: (x+3)<0, (x-\tfrac{1}{3})<0 ⇒ produto dos dois fatores >0, multiplicando por -3 (negativo) dá resultado <0.
  • Para -3<x<\tfrac{1}{3}: (x+3)>0, (x-\tfrac{1}{3})<0 ⇒ produto <0, multiplicando por -3 >0.
  • Para x>\tfrac{1}{3}: ambos fatores >0 ⇒ produto >0, multiplicando por -3 <0.
Isto confirma que a solução da inequação \leq 0 é
x\in(-\infty,-3]\cup\bigl[\tfrac{1}{3},\infty\bigr).

Passo 7

Para o esboço do gráfico precisamos dos pontos-chave:
  • Zeros (raízes): x=-3 e x=\tfrac{1}{3}.
  • Intercepto em y: em x=0 temos y=3, então ponto (0,3).
  • Vértice: a abscissa do vértice é \displaystyle x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-3)} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}. A ordenada é
y_v = -3\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}-8\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)+3 = \frac{25}{3}.
Logo vértice em \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{25}{3}\bigr) (máximo da parábola).
  • Concavidade: para baixo (máximo).
Esboço aproximado (simbólico, eixo x horizontal, y vertical):
y
^
*
/ \ <- vértice \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{25}{3}\bigr)
/ \
—*-----/--------------> x
-3 0 \tfrac{1}{3}
(o gráfico cruza o eixo x em -3 e \tfrac{1}{3}, passa por (0,3) e atinge máximo no vértice indicado)

Resposta

(- \infty,-3]\cup\bigl[\tfrac{1}{3},\infty\bigr)
Parábola com concavidade para baixo, zeros em x=-3 e x=\tfrac{1}{3}, intercepto em y em (0,3) e vértice em \bigl(-\tfrac{4}{3},\tfrac{25}{3}\bigr).

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