Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
8 x^{2}-14 x+3 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
8x^{2}-14x+3 \leq 0
ou seja, encontrar todos os valores de x que tornam a expressão quadrática menor ou igual a zero, e também pedir o esboço do gráfico dessa função quadrática.
Informações dadas e o que devemos obter:
  • Temos o polinômio quadrático \;8x^{2}-14x+3\;.
  • Devemos achar o conjunto solução da inequação \;8x^{2}-14x+3 \leq 0\;.
  • Devemos fazer o esboço do gráfico da função f(x)=8x^{2}-14x+3 (parábola): identificar zeros, vértice, direção da abertura e como desenhar.

Passo 2

Entender como resolver uma inequação quadrática: passo padrão
  • Primeiro encontramos as raízes (zeros) da função quadrática, porque a mudança de sinal só pode ocorrer nessas raízes.
  • Para achar as raízes usamos a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde, para um polinômio ax^{2}+bx+c, \;a, \;b e \;c são coeficientes (aqui a=8, b=-14, c=3), e o discriminante \Delta é dado por
\Delta=b^{2}-4ac.
Agora calculamos \Delta para o nosso caso.

Passo 3

Calcular o discriminante e as raízes:
\Delta = (-14)^{2} - 4\cdot 8\cdot 3 = 196 - 96 = 100.
Como \Delta=100\ge0, temos duas raízes reais. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-14)\pm\sqrt{100}}{2\cdot 8}=\frac{14\pm 10}{16}.
As duas raízes são:
x_{1}=\frac{14-10}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}, \qquad x_{2}=\frac{14+10}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Fatorização e análise de sinal
  • Podemos fatorar a quadrática usando as raízes encontradas. Sabendo que as raízes são \frac{1}{4} e \frac{3}{2}, a fatoração (até constante) é (x-\tfrac{1}{4})(x-\tfrac{3}{2}). Multiplicando por 8 obtemos exatamente o polinômio:
8x^{2}-14x+3 = 8\left(x-\tfrac{1}{4}\right)\left(x-\tfrac{3}{2}\right).
  • Agora, análise do sinal: o coeficiente principal é a=8>0, então a parábola abre para cima. Isso implica que a função é:
    • positiva para x<\tfrac{1}{4} (ambos os fatores têm sinais que tornam o produto positivo),
    • nula em x=\tfrac{1}{4} e x=\tfrac{3}{2},
    • negativa entre as raízes, isto é, para \tfrac{1}{4}<x<\tfrac{3}{2},
    • positiva para x>\tfrac{3}{2}.
  • Como a inequação é \le 0, incluímos os pontos onde a função é zero. Portanto a solução da inequação é o intervalo fechado entre as raízes:
\boxed{\;x\in\left[\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\right]\;}

Passo 5

Encontrar o vértice e outros pontos úteis para o esboço
  • A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
x_{v}=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}.
  • A ordenada do vértice pode ser calculada por y_v=f(x_v) ou pela fórmula y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}. Usando a segunda:
y_{v}=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{100}{4\cdot 8}=-\frac{100}{32}=-\frac{25}{8}.
Logo o vértice é \left(\tfrac{7}{8}, -\tfrac{25}{8}\right). Em decimal é (0{,}875,\,-3{,}125).
  • Podemos também anotar o valor em x=0 (interseção com o eixo y): f(0)=3. Isso ajuda a posicionar o gráfico.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque eixos: os zeros em x=\tfrac{1}{4} e x=\tfrac{3}{2}. Faça pequenas marcas nesses pontos no eixo x.
  3. Marque o vértice em \left(\tfrac{7}{8}, -\tfrac{25}{8}\right) (um pouco à direita de x=\tfrac{1}{2} e bem abaixo do eixo x). Desenhe a linha vertical do eixo de simetria x=\tfrac{7}{8} se quiser.
  4. Marque também o ponto (0,3) para saber onde a parábola cruza o eixo y.
  5. Como a parábola abre para cima (porque a=8>0), desenhe uma curva suave que passe pelo ponto (0,3), desça até o vértice em \left(\tfrac{7}{8}, -\tfrac{25}{8}\right) e volte a subir cruzando o eixo x nos pontos \tfrac{1}{4} e \tfrac{3}{2}.
  6. Sombreie a região do eixo x correspondente à solução da inequação: todos os x entre \tfrac{1}{4} e \tfrac{3}{2} (incluir as extremidades porque a desigualdade é \le).

Resposta

x\in\left[\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\right]
Esboço: parábola que abre para cima com zeros em x=\tfrac{1}{4} e x=\tfrac{3}{2}, vértice em \left(\tfrac{7}{8},-\tfrac{25}{8}\right), e interseção com y em (0,3).

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