Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
ou seja, encontrar todos os valores de
que tornam a expressão quadrática menor ou igual a zero, e também pedir o esboço do gráfico dessa função quadrática.
Informações dadas e o que devemos obter:
Informações dadas e o que devemos obter:
- Temos o polinômio quadrático
. - Devemos achar o conjunto solução da inequação
. - Devemos fazer o esboço do gráfico da função
(parábola): identificar zeros, vértice, direção da abertura e como desenhar.
Passo 2
Entender como resolver uma inequação quadrática: passo padrão
- Primeiro encontramos as raízes (zeros) da função quadrática, porque a mudança de sinal só pode ocorrer nessas raízes.
- Para achar as raízes usamos a fórmula quadrática
onde, para um polinômio
,
,
e
são coeficientes (aqui
,
,
), e o discriminante
é dado por
Agora calculamos
para o nosso caso.
Passo 3
Calcular o discriminante e as raízes:
Como
, temos duas raízes reais. Aplicando a fórmula:
As duas raízes são:
Passo 4
Fatorização e análise de sinal
- Podemos fatorar a quadrática usando as raízes encontradas. Sabendo que as raízes são
e , a fatoração (até constante) é . Multiplicando por obtemos exatamente o polinômio:
- Agora, análise do sinal: o coeficiente principal é
, então a parábola abre para cima. Isso implica que a função é: - positiva para
(ambos os fatores têm sinais que tornam o produto positivo), - nula em
e , - negativa entre as raízes, isto é, para
, - positiva para
.
- positiva para
- Como a inequação é
, incluímos os pontos onde a função é zero. Portanto a solução da inequação é o intervalo fechado entre as raízes:
Passo 5
Encontrar o vértice e outros pontos úteis para o esboço
- A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
- A ordenada do vértice pode ser calculada por
ou pela fórmula . Usando a segunda:
Logo o vértice é
. Em decimal é
.
- Podemos também anotar o valor em
(interseção com o eixo ): . Isso ajuda a posicionar o gráfico.
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
- Desenhe os eixos
e . - Marque eixos: os zeros em
e . Faça pequenas marcas nesses pontos no eixo . - Marque o vértice em
(um pouco à direita de e bem abaixo do eixo ). Desenhe a linha vertical do eixo de simetria se quiser. - Marque também o ponto
para saber onde a parábola cruza o eixo . - Como a parábola abre para cima (porque
), desenhe uma curva suave que passe pelo ponto , desça até o vértice em e volte a subir cruzando o eixo nos pontos e . - Sombreie a região do eixo
correspondente à solução da inequação: todos os entre e (incluir as extremidades porque a desigualdade é ).
Resposta
Esboço: parábola que abre para cima com zeros em