Considere a função
Dê uma equação da reta normal à curva de nível do item (b) em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras diferentes dependendo de $ x^2 + y^2 $. A gente precisa achar a equação da reta normal à curva de nível no ponto $ P_0 $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante, digamos $ c $. Ou seja, é a solução de $ f(x, y) = c $.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta normal à essa curva em um ponto específico $ P_0 $, a gente precisa do vetor gradiente da função $ f $ nesse ponto. O gradiente, denotado por $ \nabla f $, aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à curva de nível.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $ na região relevante. Como estamos no item (b), assumimos que $ 16 \leq x^2 + y^2 \leq 25 $, então $ f(x, y) = \sqrt{25 - x^2 - y^2} $.
Passo 5
O gradiente $ \nabla f $ é dado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 6
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
De forma similar, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 7
Então, o gradiente fica:
Esse vetor é normal à curva de nível no ponto $ P_0 $.
Passo 8
Vamos chamar as coordenadas de $ P_0 $ de $ (x_0, y_0) $. Então, o gradiente no ponto $ P_0 $ é:
Passo 9
A equação da reta normal pode ser escrita na forma de ponto-direção:
onde $ m $ é a inclinação da reta normal. A inclinação pode ser encontrada a partir do gradiente.
Passo 10
Como o gradiente é perpendicular à curva de nível, a inclinação da reta normal é dada por:
Resposta
A equação da reta normal à curva de nível no ponto $ P_0(x_0, y_0) $ é: