Considere a função
f(x, y)=l 7-raizx^2+y^2, se x^2+y^2 <= 16 raiz25-x^2-y^2, se 16 <= x^2+y^2 <= 25
Dê uma equação da reta normal à curva de nível do item (b) em P0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras diferentes dependendo de $ x^2 + y^2 $. A gente precisa achar a equação da reta normal à curva de nível no ponto $ P_0 $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante, digamos $ c $. Ou seja, é a solução de $ f(x, y) = c $.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta normal à essa curva em um ponto específico $ P_0 $, a gente precisa do vetor gradiente da função $ f $ nesse ponto. O gradiente, denotado por $ \nabla f $, aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à curva de nível.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $ na região relevante. Como estamos no item (b), assumimos que $ 16 \leq x^2 + y^2 \leq 25 $, então $ f(x, y) = \sqrt{25 - x^2 - y^2} $.

Passo 5

O gradiente $ \nabla f $ é dado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
nabla f
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 6

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
De forma similar, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
partial fpartial x = 12(25 - x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2x) = -xraiz25 - x^2 - y^2

Passo 7

Então, o gradiente fica:
nabla f = ( -xraiz25 - x^2 - y^2, -yraiz25 - x^2 - y^2 )
Esse vetor é normal à curva de nível no ponto $ P_0 $.

Passo 8

Vamos chamar as coordenadas de $ P_0 $ de $ (x_0, y_0) $. Então, o gradiente no ponto $ P_0 $ é:
P0

Passo 9

A equação da reta normal pode ser escrita na forma de ponto-direção:
y - y0 = m(x - x0)
onde $ m $ é a inclinação da reta normal. A inclinação pode ser encontrada a partir do gradiente.

Passo 10

Como o gradiente é perpendicular à curva de nível, a inclinação da reta normal é dada por:
m = (nabla f)y(nabla f)x = -y0raiz25 - x0^2 - y0^2-x0raiz25 - x0^2 - y0^2 = y0x0

Resposta

A equação da reta normal à curva de nível no ponto $ P_0(x_0, y_0) $ é:
P0(x0, y0)

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