Considere a função real f definida por f(x)=raizx.
Se 0<a<b<1, é correto afirmar que:
A) f(a)<f(b)<f(1a)<f(1b)
B) f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)
C) f(a)<f(b)<f(1b)<f(1a)
D) f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)
E) f(1a)<f(a)<f(b)<f(1b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = raizx . O exercício pede para comparar os valores dessa função em diferentes pontos, dado que 0 < a < b < 1 . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função raiz quadrada se comporta e como os valores de a e b influenciam esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = raizx . A raiz quadrada é uma função crescente, ou seja, se x1 < x2 , então raizx1 < raizx2 . Isso significa que, entre a e b , como a < b , teremos f(a) < f(b) .

Passo 3

Agora, vamos considerar 1a e 1b . Sabemos que 0 < a < b < 1 , então 1a > 1b > 1 . Isso porque, ao inverter um número entre 0 e 1, o resultado fica maior que 1, e quanto menor o denominador original, maior o resultado.

Passo 4

Aplicando a função f nesses novos valores, temos f(1a) = raiz1a e f(1b) = raiz1b . Como 1a > 1b , e a função raiz quadrada é crescente, então f(1a) > f(1b) .

Passo 5

Agora, vamos organizar todas as comparações que fizemos:
  • f(a) < f(b) porque a < b .
  • f(b) < f(1b) porque b < 1b .
  • f(1b) < f(1a) porque 1b < 1a .
Juntando tudo, temos f(a) < f(b) < f(1b) < f(1a) .

Resposta

A alternativa correta é a C) f(a) < f(b) < f(1b) < f(1a) .

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