Determine se u=x^3-3 x y^2 é uma solução da equação de Laplace ux x+uy y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y) = x^3 - 3,x,y^2
e pede para verificar se ela satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis, isto é,
uxx + uyy = 0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem de u.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
ux = partialpartial xl(x^3 - 3xy^2r) = 3x^2 - 3y^2,
uy = partialpartial yl(x^3 - 3xy^2r) = -6xy

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de segunda ordem a partir das expressões acima:
uxx = partialpartial xl(3x^2 - 3y^2r) = 6x,
uyy = partialpartial yl(-6xyr) = -6x

Passo 4

Somando as segundas derivadas, temos
uxx + uyy = 6x + (-6x) = 0
Como a soma é zero em todo ponto (x,y), concluímos que u satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, u(x,y)=x^3-3xy^2 é solução da equação de Laplace.

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