Determine a derivada parcial indicada
f(x, y)=x sen y ; fx x y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=xsin y
e pede a derivada parcial mista de terceira ordem fxxy. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais sucessivas, sabendo que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de primeira ordem em x:
fx(x,y)=partialpartial xl(xsin yr) =sin ycdotpartialpartial x(x) =sin y

Passo 3

Agora derivamos novamente em x para obter fxx:
fxx(x,y)=partialpartial xl(fx(x,y)r) =partialpartial xl(sin yr)
Como sin y não depende de x, essa derivada é zero:
fxx(x,y)=0

Passo 4

Por fim, derivamos fxx em relação a y para obter fxxy:
fxxy(x,y)=partialpartial yl(fxx(x,y)r) =partialpartial y(0)=0

Resposta

fxxy(x,y)=0

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