Determine a derivada parcial indicada
w=ln (x+y^2-z) ; partial^3 wpartial x partial y partial z

Passo 1

O enunciado nos dá
w = lnl(x + y^2 - zr)
e pede a derivada mista
partial^3wpartial x,partial y,partial z.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais e a comutatividade de derivadas mistas (função C^infty).

Passo 2

Primeiro, derivamos w em relação a z. Como
w = ln(u), u = x + y^2 - z,
vale
partial wpartial z = 1u,partial upartial z = 1x + y^2 - z,(-1) = -1x + y^2 - z

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação a y:
partial^2 wpartial y,partial z = partialpartial yl(-1x + y^2 - zr) = -l(-1r),2y(x + y^2 - z)^2 = 2y(x + y^2 - z)^2

Passo 4

Por fim, derivamos em relação a x:
partial^3 wpartial x,partial y,partial z = partialpartial xl(2y(x + y^2 - z)^2r) = 2y ;l(-2r),1(x + y^2 - z)^3 = -4y(x + y^2 - z)^3

Resposta

partial^3wpartial x,partial y,partial z = -4yl(x + y^2 - zr)^3

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