Use o teste do n-ésimo termo para determinar se as séries convergem. Deixe indicado caso o teste seja inconclusivo.
sumn=1^+infty n cdot sen(1n)

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para usar o teste do n-ésimo termo para ver se uma série converge ou não. O enunciado é:
sumn=1^+infty n cdot sen(1n)
Pra isso, vamos precisar entender o que é o teste do n-ésimo termo e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste do n-ésimo termo. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série (nesse caso, n cdot sen(1n) ) quando n tende ao infinito não for zero, então a série não converge. Ou seja, se
limn to infty an neq 0
então a série sum an diverge.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral da série:
limn to infty n cdot sen(1n)
Pra facilitar, vamos lembrar que quando x é bem pequeno, sen(x) é aproximadamente igual a x . Então, quando n cresce muito, 1n fica bem pequeno, e podemos usar essa aproximação:
sen(1n) approx 1n

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
limn to infty n cdot sen(1n) approx limn to infty n cdot 1n = limn to infty 1 = 1

Passo 5

Então, o limite do termo geral é 1, que não é zero. Segundo o teste do n-ésimo termo, isso significa que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty n cdot sen(1n) não converge pelo teste do n-ésimo termo.

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