Use o teste do n-ésimo termo para determinar se as séries convergem. Deixe indicado caso o teste seja inconclusivo.
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para usar o teste do n-ésimo termo para ver se uma série converge ou não. O enunciado é:
Pra isso, vamos precisar entender o que é o teste do n-ésimo termo e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste do n-ésimo termo. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série (nesse caso,
) quando
tende ao infinito não for zero, então a série não converge. Ou seja, se
então a série
diverge.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral da série:
Pra facilitar, vamos lembrar que quando
é bem pequeno,
é aproximadamente igual a
. Então, quando
cresce muito,
fica bem pequeno, e podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
Passo 5
Então, o limite do termo geral é 1, que não é zero. Segundo o teste do n-ésimo termo, isso significa que a série não converge.
Resposta
A série
não converge pelo teste do n-ésimo termo.