Considere a região limitada pelo gráfico de y=sen(x) e o eixo x de -pi2 até 3 pi2. Desenhe-a, calcule sua área e o volume do sólido de revolução gerado quando ela gira em torno do eixo x. Lembre-se que sen^2(x)=12-cos (2 x)2.

Passo 1

O enunciado pede para considerar a região entre o gráfico de y=sin(x) e o eixo x, no intervalo de -tfracpi2 até tfrac3pi2. Vamos calcular (1) a área dessa região e (2) o volume do sólido obtido ao girá-la em torno do eixo x. O conteúdo é integração definida e método dos discos para volumes de revolução, e vamos usar a identidade trigonométrica sin^2(x)=tfrac12-tfraccos(2x)2.

Passo 2

Para entender a forma da região, observe o gráfico de sin(x): entre -tfracpi2 e 0 a função é negativa, entre 0 e pi é positiva, e de pi a tfrac3pi2 volta a ser negativa. Os zeros estão em x=0 e x=pi. O “sombreado” é a área entre o traço da curva e o eixo x, mesmo quando a curva fica abaixo (mas contamos com valor positivo de área).

Passo 3

Para achar a área, dividimos em três pedaços e somamos as integrais absolutas:
A = integral-pi2^0 -sin(x),dx + integral0^pi sin(x),dx + integralpi^3pi2 -sin(x),dx

Passo 4

Calculando cada parte:
integral-pi2^0 -sin(x),dx = l[-cos(x)r]-pi2^0 = (-cos0) - (-cos(-tfracpi2)) = -1 - 0 = -1 Rightarrow,1,

Passo 5

integral0^pi sin(x),dx = l[-cos(x)r]0^pi = (-cospi) - (-cos0) = 1 - (-1) = 2,

Passo 6

integralpi^3pi2 -sin(x),dx = l[-cos(x)r]pi^tfrac3pi2 = (-costfrac3pi2) - (-cospi) = 0 - (-(-1)) = -1 Rightarrow,1

Passo 7

Somando as áreas positivas: A = 1 + 2 + 1 = 4 unidades de área.

Passo 8

Para o volume pelo método dos discos usamos
V = pi integral-pi2^3pi2 [sin(x)]^2,dx

Passo 9

Substituindo sin^2(x)=tfrac12-tfraccos(2x)2:
V = pi integral-pi2^3pi2 l(tfrac12 - tfraccos(2x)2r)dx = pi l[tfracx2 - tfracsin(2x)4r]-pi2^3pi2

Passo 10

Avalia-se a primitiva nos limites:
l(tfracx2-tfracsin(2x)4r)x=3pi2 = tfrac3pi4,

Passo 11

l(tfracx2-tfracsin(2x)4r)x=-pi2 = -tfracpi4,

Passo 12

diferença é tfrac3pi4-(-tfracpi4)=pi, logo
V = pi cdot pi = pi^2 unidades de volume.

Resposta

Área = 4 unidades²; Volume = pi^2 unidades³

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