Considere a região limitada pelo gráfico de
e o eixo
de
até
. Desenhe-a, calcule sua área e o volume do sólido de revolução gerado quando ela gira em torno do eixo
. Lembre-se que
.
Passo 1
O enunciado pede para considerar a região entre o gráfico de
e o eixo
, no intervalo de
até
. Vamos calcular (1) a área dessa região e (2) o volume do sólido obtido ao girá-la em torno do eixo
. O conteúdo é integração definida e método dos discos para volumes de revolução, e vamos usar a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Para entender a forma da região, observe o gráfico de
: entre
e
a função é negativa, entre
e
é positiva, e de
a
volta a ser negativa. Os zeros estão em
e
. O “sombreado” é a área entre o traço da curva e o eixo
, mesmo quando a curva fica abaixo (mas contamos com valor positivo de área).
Passo 3
Para achar a área, dividimos em três pedaços e somamos as integrais absolutas:
Passo 4
Calculando cada parte:
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Somando as áreas positivas:
unidades de área.
Passo 8
Para o volume pelo método dos discos usamos
Passo 9
Substituindo
:
Passo 10
Avalia-se a primitiva nos limites:
Passo 11
Passo 12
diferença é
, logo
Resposta
Área = 4 unidades²; Volume =
unidades³