Determine uma equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas (quando possível) para a reta r do espaço, nos seguintes casos: r passa pelo ponto A(6,7,3) e é simultaneamente ortogonal aos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede a reta r no espaço que passa por A(6,7,3) e é ortogonal aos eixos x e y. Isso cai no conteúdo de retas em R^3, onde vamos usar produto escalar para achar o vetor diretor e depois escrever as equações vetorial, paramétrica e (se possível) simétrica.

Passo 2

Seja v=(a,b,c) o vetor diretor de r. Como r é ortogonal ao eixo x e ao eixo y, temos
vcdot(1,0,0)=a=0,
vcdot(0,1,0)=b=0
Logo v=(0,0,c) com c≠0. Podemos escolher c=1 para simplificar, ficando v=(0,0,1).

Passo 3

Com ponto A e vetor diretor v, a equação vetorial da reta é
vec r=(6,7,3)+t,(0,0,1)

Passo 4

Para obter as equações paramétricas, basta igualar as componentes:
x=6, y=7, z=3+t

Passo 5

Para a forma simétrica precisaríamos escrever (x-6)/0=(y-7)/0=(z-3)/1, mas isso não faz sentido (divisão por zero). Portanto não é possível obter equação simétrica válida neste caso.

Resposta

Equação vetorial: vec r=(6,7,3)+t,(0,0,1)
Equações paramétricas:
$$
x=6, y=7, z=3+t
$$
Equação simétrica: não existe (denominadores nulos).

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