Determine uma equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas (quando possível) para a reta
do espaço, nos seguintes casos:
passa pelo ponto
e é simultaneamente ortogonal aos eixos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a reta r no espaço que passa por A(6,7,3) e é ortogonal aos eixos x e y. Isso cai no conteúdo de retas em R^3, onde vamos usar produto escalar para achar o vetor diretor e depois escrever as equações vetorial, paramétrica e (se possível) simétrica.
Passo 2
Seja v=(a,b,c) o vetor diretor de r. Como r é ortogonal ao eixo x e ao eixo y, temos
Logo v=(0,0,c) com c≠0. Podemos escolher c=1 para simplificar, ficando v=(0,0,1).
Passo 3
Com ponto A e vetor diretor v, a equação vetorial da reta é
Passo 4
Para obter as equações paramétricas, basta igualar as componentes:
Passo 5
Para a forma simétrica precisaríamos escrever
, mas isso não faz sentido (divisão por zero). Portanto não é possível obter equação simétrica válida neste caso.
Resposta
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
$$
Equações paramétricas:
$$
$$
Equação simétrica: não existe (denominadores nulos).
Equação simétrica: não existe (denominadores nulos).