1. Considere a função real f(x)=\ln (x-3).
    (a) (2,0 pts.) Associe a função à uma série de potência utilizando série de Taylor centrada em a=6.
    (b) (2,0 pts.) Determine o intervalo de convergência EXATO da série encontrada no item anterior.
    (c) (2,0 pts.) Para uma truncagem de ordem três (polinômio de Taylor de grau 3), qual o erro máximo possível de aproximação para um raio de convergência R=1 ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre f(x)=\ln(x-3):
  1. Expandir em série de potências (Taylor) centrada em a=6.
  2. Determinar o intervalo de convergência exato dessa série.
  3. Calcular o erro máximo da aproximação pelo polinômio de Taylor de grau 3 em \lvert x-6\rvert\le1.
    Vamos usar a fórmula de Taylor para funções que podem ser escritas como \ln\bigl(1+u\bigr) e o critério de convergência de séries de potências, além do resto de Lagrange para estimar o erro.

Passo 2

Para montar a série, escrevemos
f(x)=\ln(x-3)=\ln\bigl(3+(x-6)\bigr)=\ln3+\ln\!\Bigl(1+\frac{x-6}{3}\Bigr).
Sabemos que para \lvert u\rvert<1 vale
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{u^n}{n}.
Aqui u=(x-6)/3.

Passo 3

Substituindo u=(x-6)/3 na série de \ln(1+u), obtemos
\ln\!\Bigl(1+\frac{x-6}{3}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n}\Bigl(\frac{x-6}{3}\Bigr)^{n}.
Logo a série de Taylor de f em a=6 é
f(x) =\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(x-6)^{n}}{n\,3^{n}}.

Passo 4

O raio de convergência R vem de \bigl\lvert(x-6)/3\bigr\rvert<1, ou seja \lvert x-6\rvert<3.
Isso dá o intervalo aberto (3,9).
Nos extremos:
  • Em x=9 (x-6)/3=1 a série vira \ln3+\sum(-1)^{n+1}/n=\ln3+\ln2=\ln6=\ln(9-3), converge (série alternada).
  • Em x=3 (x-6)/3=-1 a série vira \ln3+\sum(-1)/n, que diverge (série harmônica).
    Portanto o intervalo de convergência exato é
(3,9].

Passo 5

Para o polinômio de Taylor de grau 3, o resto de Lagrange é
R_{3}(x) =\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,(x-6)^{4}
para algum \xi entre 6 e x. Todas as derivadas de ordem n\ge1 de f são
f^{(n)}(x) =(-1)^{n-1}(n-1)!\,(x-3)^{-n}.
Em particular
f^{(4)}(x) =-6\,(x-3)^{-4},
logo em valor absoluto
\lvert f^{(4)}(\xi)\rvert =\frac{6}{\lvert \xi-3\rvert^{4}}.
Para \lvert x-6\rvert\le1, \xi fica em [5,7], então o menor \lvert \xi-3\rvert é 2.
Assim
\lvert f^{(4)}(\xi)\rvert\le \frac{6}{2^{4}}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
Logo
\lvert R_{3}(x)\rvert \le\frac{3/8}{4!}\,\lvert x-6\rvert^{4} \le\frac{3/8}{24}\cdot1^{4} =\frac{3}{192} =\frac{1}{64}.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(x-6)^{n}}{n\,3^{n}}.
(b) Intervalo de convergência exato: (3,9].
(c) Erro máximo para \lvert x-6\rvert\le1: \displaystyle \frac{1}{64}\approx0,015625.

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