Considere a função real f(x)=\ln (x-3).
(a) (2,0 pts.) Associe a função à uma série de potência utilizando série de Taylor centrada em a=6.
(b) (2,0 pts.) Determine o intervalo de convergência EXATO da série encontrada no item anterior.
(c) (2,0 pts.) Para uma truncagem de ordem três (polinômio de Taylor de grau 3), qual o erro máximo possível de aproximação para um raio de convergência R=1 ?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre f(x)=\ln(x-3):
Expandir em série de potências (Taylor) centrada em a=6.
Determinar o intervalo de convergência exato dessa série.
Calcular o erro máximo da aproximação pelo polinômio de Taylor de grau 3 em \lvert x-6\rvert\le1.
Vamos usar a fórmula de Taylor para funções que podem ser escritas como \ln\bigl(1+u\bigr) e o critério de convergência de séries de potências, além do resto de Lagrange para estimar o erro.