Determine se cada sequência a seguir converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o valor da convergência.
\left\{2,-\frac{3}{4}, \frac{4}{9},-\frac{5}{16}, \frac{6}{25}, \ldots\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \{2,\,-\tfrac{3}{4},\,\tfrac{4}{9},\,-\tfrac{5}{16},\,\tfrac{6}{25},\ldots\}
converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo aqui é identificação do termo geral da sequência e cálculo do seu limite quando n\to\infty.

Passo 2

Observando os cinco primeiros termos, vemos que o sinal alterna e o numerador cresce em 1 enquanto o denominador é o quadrado do índice. Para n=1,2,3,\dots definimos
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{n+1}{n^2}.
Verificamos rapidamente: para n=1 a_1=+2, para n=2 a_2=-3/4 etc., batendo com os termos dados.

Passo 3

Para ver o limite, separamos a parte numérica e o sinal:
\frac{n+1}{n^2} = \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.
Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0 e \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n^2}=0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2} = 0.
Logo a parte com sinal vale \pm0, isto é,
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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