Determine se cada sequência a seguir converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o valor da convergência.
a_{n+1}=\frac{2}{4-a_{n}}, \operatorname{com} a_{1}=2.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{n+1} = \frac{2}{4 - a_n},
com a_1 = 2.
O conteúdo envolvido é análise de sequências recorrentes: vamos usar a ideia de ponto fixo da função
f(x) = \frac{2}{4 - x}
e estudar monotonia e limites.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos para ter uma intuição:
a_1 = 2,\quad a_2 = \frac{2}{4 - 2} = 1,\quad a_3 = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3}\approx 0{,}6667,
a_4 = \frac{2}{4 - \tfrac{2}{3}} = \frac{2}{\tfrac{10}{3}} = 0{,}6,\quad a_5 = \frac{2}{4 - 0{,}6} = \frac{2}{3{,}4}\approx 0{,}5882.
Vê-se que os a_n diminuem e parecem estacionar num valor em torno de 0{,}5858.

Passo 3

Supondo que a sequência convirja para um limite L, temos
L = \frac{2}{4 - L}.
Multiplicando,
L(4 - L) = 2 \;\Longrightarrow\; L^2 - 4L + 2 = 0.
As raízes dessa quadrática são
L = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.
Portanto existem dois pontos fixos:
L_1 = 2 - \sqrt{2}\approx 0{,}5858 \quad\text{e}\quad L_2 = 2 + \sqrt{2}\approx 3{,}4142.

Passo 4

Para decidir qual desses valores é o verdadeiro limite, observamos:
  1. O termo inicial a_1 = 2 está entre L_1 e L_2.
  2. A função f(x)=2/(4-x) é crescente em seu domínio.
  3. Se x está em (L_1,L_2), então
f(x) = \frac{2}{4 - x} < x
pois isso equivale a 2 < x(4 - x), ou seja x^2 -4x +2<0, que é válido exatamente para L_1 < x < L_2.
Logo, uma vez em (L_1,L_2), a sequência é estritamente decrescente, mas permanece acima de L_1.
Por monotonia decrescente e limite inferior L_1, concluímos que (a_n) converge e seu limite satisfaz L = L_1.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = 2 - \sqrt{2}.

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