Determine se cada sequência a seguir converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o valor da convergência.
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
com
.
O conteúdo envolvido é análise de sequências recorrentes: vamos usar a ideia de ponto fixo da função
O conteúdo envolvido é análise de sequências recorrentes: vamos usar a ideia de ponto fixo da função
e estudar monotonia e limites.
Passo 2
Vamos calcular alguns termos para ter uma intuição:
Vê-se que os
diminuem e parecem estacionar num valor em torno de
.
Passo 3
Supondo que a sequência convirja para um limite
, temos
Multiplicando,
As raízes dessa quadrática são
Portanto existem dois pontos fixos:
Passo 4
Para decidir qual desses valores é o verdadeiro limite, observamos:
- O termo inicial
está entre e . - A função
é crescente em seu domínio. - Se
está em , então
pois isso equivale a
, ou seja
, que é válido exatamente para
.
Logo, uma vez em , a sequência é estritamente decrescente, mas permanece acima de
.
Logo, uma vez em
Por monotonia decrescente e limite inferior
, concluímos que
converge e seu limite satisfaz
.
Resposta
A sequência converge e