Considere a função real f(x)=\ln (4-x).
(a) (2,0 pts.) Associe a função à uma série de potência utilizando série de Maclaurin.
(b) ( 1,0 pts.) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência EXATO da série encontrada no item anterior.
(c) (1,0 pts.) Para uma truncagem de ordem três (polinômio de Taylor de grau 3), qual o erro máximo possível de aproximação para um raio de convergência R=2 ?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x) = \ln(4 - x)
e pede (a) a série de Maclaurin correspondente, (b) o raio e o intervalo de convergência EXATO, e (c) para truncagem de ordem três e \lvert x\rvert\le2, o erro máximo possível. Vamos usar a expansão de \ln(1 - u) e depois analisar convergência e resto de série.
Portanto o raio de convergência é R=4.
Nos extremos:
Em x=4 temos \ln(4 - 4)=\ln0 que diverge, e a série torna-se -\sum1/n, também divergente.
Em x=-4 temos \ln(4-(-4))=\ln8 e a série vira \ln4 - \sum_{n=1}^\infty(-1)^n/n, que converge (é \ln4 +\ln2=\ln8).
Logo o intervalo de convergência EXATO é