1. Considere a função real f(x)=\ln (4-x).
    (a) (2,0 pts.) Associe a função à uma série de potência utilizando série de Maclaurin.
    (b) ( 1,0 pts.) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência EXATO da série encontrada no item anterior.
    (c) (1,0 pts.) Para uma truncagem de ordem três (polinômio de Taylor de grau 3), qual o erro máximo possível de aproximação para um raio de convergência R=2 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \ln(4 - x)
e pede (a) a série de Maclaurin correspondente, (b) o raio e o intervalo de convergência EXATO, e (c) para truncagem de ordem três e \lvert x\rvert\le2, o erro máximo possível. Vamos usar a expansão de \ln(1 - u) e depois analisar convergência e resto de série.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = \ln(4 - x) = \ln4 + \ln\!\bigl(1 - \tfrac{x}{4}\bigr).
Sabendo que para \lvert u\rvert<1 vale
\ln(1 - u) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^n}{n},
aqui u = \tfrac{x}{4}. Logo a série de Maclaurin de f é
f(x) = \ln4 \;-\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Para convergência da série de \ln(1 - u) precisamos de \lvert u\rvert<1, isto é
\bigl\lvert \tfrac{x}{4}\bigr\rvert < 1 \;\Longrightarrow\; \lvert x\rvert < 4.
Portanto o raio de convergência é R=4.
Nos extremos:
  • Em x=4 temos \ln(4 - 4)=\ln0 que diverge, e a série torna-se -\sum1/n, também divergente.
  • Em x=-4 temos \ln(4-(-4))=\ln8 e a série vira
    \ln4 - \sum_{n=1}^\infty(-1)^n/n, que converge (é \ln4 +\ln2=\ln8).
    Logo o intervalo de convergência EXATO é
[-4,\,4).

Passo 4

Queremos truncar a série em ordem três:
T_3(x) = \ln4 \;-\;\sum_{n=1}^{3} \frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr)^{n}
e estimar o resto R_3(x) para \lvert x\rvert\le2. Temos
R_3(x) = -\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr)^{n}.
Para \lvert x\rvert\le2 fica \bigl\lvert x/4\bigr\rvert\le 1/2. Como para n\ge4 vale 1/n\le1/4,
\lvert R_3(x)\rvert \le \sum_{n=4}^\infty \frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n} \le \frac{1}{4}\sum_{n=4}^\infty \Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n} = \frac{1}{4}\,\frac{(1/2)^4}{1 - 1/2} = \frac{1}{32}.

Resposta

(a) \displaystyle \ln(4-x) = \ln4 \;-\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr)^{n}.
(b) Raio de convergência R=4; intervalo de convergência EXATO [-4,4).
(c) Para \lvert x\rvert\le2, o erro máximo \lvert R_3(x)\rvert\le\frac{1}{32}.

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